p(t)=1+4 t-2 t^2+t^3, q(t)=-1+9 t-3 t^2+2 t^3, w(t)=-5+6 t+t^3, h(t)=5+7 t-5 t^2+2 t^3.
(a) Verifique que p, q, w, h é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear a p+b q+c w+d h=0 em que algum dos coeficientes a, b, c, d é diferente de 0
© Encontre um elemento de p, q, w, h que é combinação linear dos outros e escreva essa combinação linear.

Passo 1

Estamos em P3 e queremos verificar se p,q,w,h é linearmente dependente, encontrar uma combinação não trivial a p+b q+c w+d h=0 e daí escrever um dos polinômios como combinação dos outros. Vamos usar representação em coordenadas na base 1,t,t^2,t^3 e resolver o sistema homogêneo.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas na base padrão: p=(1,4,-2,1),;q=(-1,9,-3,2),;w=(-5,6,0,1),;h=(5,7,-5,2) O sistema a p+b q+c w+d h=0 gera as equações lineares nas componentes: constante: a - b -5c +5d=0; coeficiente de t: 4a+9b+6c+7d=0; de t^2: -2a-3b-5d=0; de t^3: a+2b+c+2d=0.

Passo 3

Formamos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss para reduzir o sistema:
1 & -1 & -5 & 5 4 & 9 & 6 & 7 -2 & -3 & 0 & -5 1 & 2 & 1 & 2 longrightarrow forma reduzida com pivôs em a,b ô
A redução dá o sistema equivalente
a -3c +4d=0, b +2c -d=0, com c,d livres.

Passo 4

Da forma reduzida temos a solução geral
(a,b,c,d)=(3c-4d, -2c+d, c, d),
o que mostra existência de solução não trivial e, portanto, p,q,w,h é linearmente dependente. Para achar uma combinação escolhemos, por exemplo, c=1,d=0, obtendo (a,b,c,d)=(3,-2,1,0) e assim
3p -2q + w = 0

Passo 5

Dessa relação isolamos w e escrevemos
w = -3p + 2q,mostrando que w é combinação linear de p e q.

Resposta

(a) p,q,w,h é linearmente dependente. (b) Uma combinação não trivial é 3p -2q + w =0. © Daí w = -3p +2q, ou seja, w é combinação linear de p e q.

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