Considere o produto interno lang<= f, grang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x e o Processo de Ortogonalização de GramSchmidt em que o produto interno acima é utilizado no lugar do produto escalar. Aplique esse processo na base para obter a base ortonormal . Verifique diretamente que o último conjunto é um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto de funções\n e0(x)=1raiz2, e1(x)=raiztfrac32,x e e2(x)=raiz52raiz2(3x^2-1) é ortonormal no espaço com produto interno lang<= f,grang<==integral-1^1f(x)g(x),dx. Vamos precisar calcular normas ( lang<= ei,eirang<==1) e produtos cruzados ( lang<= ei,ejrang<==0 para ineq j).

Passo 2

Para verificar as normas, calculamos lang<= ei,eirang<= para i=0,1,2:\n lang<= e0,e0rang<= = integral-1^1l(1raiz2r)^2,dx = 12integral-1^1 1,dx = 12cdot 2 = 1 \n$$
\langle e_1,e_1\rangle = \int_{-1}1\Bigl(\sqrt{\tfrac32},x\Bigr)2,dx = \frac32\int_{-1}^1 x^2,dx = \frac32\cdot \frac{2}{3} = 1.

\langle e_2,e_2\rangle = \Bigl(\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}\Bigr)^2 \int_{-1}1(3x2-1)^2,dx
= \frac{5}{8}\int_{-1}1(9x4 - 6x^2 +1),dx.
\int_{-1}^1 x^4,dx = \frac{2}{5},
\quad \int_{-1}^1 x^2,dx = \frac{2}{3},
\quad \int_{-1}^1 1,dx = 2.

\int_{-1}1(9x4 - 6x^2 +1),dx = 9\cdot\frac{2}{5} -6\cdot\frac{2}{3} +2 = \frac{18}{5} -4 +2 = \frac{8}{5}.
\langle e_2,e_2\rangle = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{5} = 1.
$$

Passo 3

Para verificar a ortogonalidade, calculamos lang<= ei,ejrang<= para i:\n1) lang<= e0,e1rang<= = integral-1^1 1raiz2cdotraiztfrac32,x,dx = 1raiz2raiztfrac32integral-1^1 x,dx = 0 (integral de função ímpar).\n2) lang<= e0,e2rang<= = 1raiz2raiz52raiz2integral-1^1(3x^2-1),dx = raiz54l[ x^3 - xr]-1^1 = 0\n3) lang<= e1,e2rang<= = raiztfrac32raiz52raiz2integral-1^1 x(3x^2-1),dx = constantetimes integral-1^1(3x^3 - x),dx = 0 (função ímpar).

Passo 4

Como cada lang<= ei,eirang<==1 e cada lang<= ei,ejrang<==0 para ineq j, o conjunto é ortonormal.

Resposta

O conjunto é ortonormal, pois cada vetor tem norma 1 e são mutuamente ortogonais.

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