Considere o produto interno
e o Processo de Ortogonalização de GramSchmidt em que o produto interno acima é utilizado no lugar do produto escalar. Aplique esse processo na base
para obter a base ortonormal
. Verifique diretamente que o último conjunto é um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto de funções\n
,
e
é ortonormal no espaço com produto interno
. Vamos precisar calcular normas (
) e produtos cruzados (
para
).
Passo 2
Para verificar as normas, calculamos
para
:\n
\n$$
\langle e_1,e_1\rangle = \int_{-1}1\Bigl(\sqrt{\tfrac32},x\Bigr)2,dx = \frac32\int_{-1}^1 x^2,dx = \frac32\cdot \frac{2}{3} = 1.
\langle e_2,e_2\rangle = \Bigl(\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}\Bigr)^2 \int_{-1}1(3x2-1)^2,dx
= \frac{5}{8}\int_{-1}1(9x4 - 6x^2 +1),dx.
\int_{-1}^1 x^4,dx = \frac{2}{5},
\quad \int_{-1}^1 x^2,dx = \frac{2}{3},
\quad \int_{-1}^1 1,dx = 2.
\quad \int_{-1}^1 x^2,dx = \frac{2}{3},
\quad \int_{-1}^1 1,dx = 2.
\int_{-1}1(9x4 - 6x^2 +1),dx = 9\cdot\frac{2}{5} -6\cdot\frac{2}{3} +2 = \frac{18}{5} -4 +2 = \frac{8}{5}.
\langle e_2,e_2\rangle = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{5} = 1.
$$
Passo 3
Para verificar a ortogonalidade, calculamos
para
:\n1)
(integral de função ímpar).\n2)
\n3)
(função ímpar).
Passo 4
Como cada
e cada
para
, o conjunto é ortonormal.
Resposta
O conjunto é ortonormal, pois cada vetor tem norma 1 e são mutuamente ortogonais.