(2.5 Pontos) Encontre uma matriz 2 times 2 com autovetores (3,2) e (2,2) e autovalores 1 e -1 , respectivamente. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz 2×2 que tenha como autovetor (3,2) com autovalor 1 e como autovetor (2,2) com autovalor -1. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: se a matriz M tiver uma base de autovetores, podemos escrevê-la como M = P D P^-1, onde as colunas de P são os autovetores e D é a matriz diagonal dos autovalores.

Passo 2

Para montar essa diagonalização, vamos definir
P = 3 & 2 2 & 2, D = 1 & 0 0 & -1
Aqui as colunas de P são os vetores (3,2) e (2,2), e D coloca 1 e -1 nas posições correspondentes.

Passo 3

Precisamos agora de P^-1. Como det(P) = 3cdot2 - 2cdot2 = 2, temos
P^-1 = 122 & -2 -2 & 3

Passo 4

Vamos calcular
P D = 3 & 2 2 & 2 1 & 0 0 & -1 = 3 & -2 2 & -2
e então
M = P D P^-1 = 123 & -2 2 & -2 2 & -2 -2 & 3 = 1210 & -12 8 & -10 = 5 & -6 4 & -5

Passo 5

Para justificar, basta verificar que
M32 = 5&-64&-532 = 32 = 1cdot32,
M22 = -2-2 = -1cdot22

Resposta

Uma matriz que funciona é 5 & -64 & -5, pois tem os autovetores e autovalores pedidos.

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