(2.5 Pontos) Encontre uma matriz com autovetores e e autovalores 1 e -1 , respectivamente. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz 2×2 que tenha como autovetor com autovalor 1 e como autovetor com autovalor -1. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: se a matriz tiver uma base de autovetores, podemos escrevê-la como , onde as colunas de são os autovetores e é a matriz diagonal dos autovalores.
Passo 2
Para montar essa diagonalização, vamos definir
Aqui as colunas de P são os vetores (3,2) e (2,2), e D coloca 1 e -1 nas posições correspondentes.
Passo 3
Precisamos agora de P^-1. Como det(P) = 3cdot2 - 2cdot2 = 2, temos