(3.0 Pontos) Fatore a matriz abaixo na forma A=X Lambda X^-1, onde Lambda é uma matrix diagonal. Justifique a sua resposta.
A=[lll 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 0 & 0 & -3 ]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz A na forma de uma diagonalização A = X,Lambda,X^-1. Aqui o conteúdo é autovalores e autovetores de matriz, e vamos precisar montar o polinômio característico, resolver para os autovalores e depois achar um autovetor para cada um deles.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Como A tem bloco triangular, temos
det(A-lambda I)=det1-lambda & 2 & -12 &4-lambda & -20 &0 &-3-lambda=det1-lambda &22 &4-lambdacdot(-3-lambda)

Passo 3

Expandindo o primeiro determinante:
det1-lambda &22 &4-lambda=(1-lambda)(4-lambda)-4=lambda^2-5lambda

Passo 4

Logo o polinômio fica
lambda^2(lambda-5)(-lambda-3)=0,
que dá os autovalores lambda1=5, lambda2=0 e lambda3=-3. Como são três autovalores distintos, garantimos que A é diagonalizável.

Passo 5

Agora, para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar o autovetor correspondente:
Para lambda1=5:
1-5 &2 &-12 &4-5 &-20 &0 &-3-5sim-4 &2 &-12 &-1 &-20 &0 &-8,

Passo 6

da primeira linha -4x+2y -z=0 vem y=2x+tfrac z2, mas como a terceira equação força z=0, escolhemos z=0 e ficamos com y=2x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v1=120

Passo 7

Para lambda2=0:
A-0,I=A:1 &2 &-12 &4 &-20 &0 &-3,

Passo 8

da primeira linha x+2y -z=0 e da terceira -3z=0 vem z=0 e x=-2y. Tomando y=1
v2=-210

Passo 9

Para lambda3=-3:
A+3I=4 &2 &-12 &7 &-20 &0 &0,

Passo 10

das equações 4x+2y -z=0 e 2x+7y-2z=0 obtemos y=2x e z=8x. Tomando x=1
v3=128

Passo 11

Por fim, colocamos estas colunas na matriz X e os autovalores na diagonal de Lambda.

Resposta

[X= 1 &-2 &12 &1 &20 &0 &8,\quad \Lambda= 5 &0 &00 &0 &00 &0 &-3,\quad e portantoA=X,\Lambda,X^{-1}.

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