(3.0 Pontos) Fatore a matriz abaixo na forma , onde é uma matrix diagonal. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz A na forma de uma diagonalização A = X,Lambda,X^-1. Aqui o conteúdo é autovalores e autovetores de matriz, e vamos precisar montar o polinômio característico, resolver para os autovalores e depois achar um autovetor para cada um deles.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Como A tem bloco triangular, temos
lambda^2(lambda-5)(-lambda-3)=0,
que dá os autovalores lambda1=5, lambda2=0 e lambda3=-3. Como são três autovalores distintos, garantimos que A é diagonalizável.
Passo 5
Agora, para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar o autovetor correspondente:
Para lambda1=5:
da primeira linha -4x+2y -z=0 vem y=2x+tfrac z2, mas como a terceira equação força z=0, escolhemos z=0 e ficamos com y=2x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v1=120
Passo 7
Para lambda2=0:
A-0,I=A:1 &2 &-12 &4 &-20 &0 &-3,
Passo 8
da primeira linha x+2y -z=0 e da terceira -3z=0 vem z=0 e x=-2y. Tomando y=1 dá
v2=-210
Passo 9
Para lambda3=-3:
A+3I=4 &2 &-12 &7 &-20 &0 &0,
Passo 10
das equações 4x+2y -z=0 e 2x+7y-2z=0 obtemos y=2x e z=8x. Tomando x=1 dá
v3=128
Passo 11
Por fim, colocamos estas colunas na matriz X e os autovalores na diagonal de Lambda.