Sejam
um espaço vetorial e
um conjunto l.i. Mostre que os seguintes conjuntos
também são l.i.
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, partindo de um conjunto l.i.
, os vetores trocados ou somados ainda formam conjuntos l.i. O tema é independência linear, e vamos usar a definição: um conjunto
é l.i. se a única combinação
ocorre quando todos
.
Passo 2
Seja o primeiro conjunto
. Considere escalares
tais que
Passo 3
Distribuindo e agrupando em
obtemos
Passo 4
Como
é l.i., os coeficientes devem ser zero:
Passo 5
Daí
, depois
e finalmente
. Logo só há solução trivial, e o conjunto é l.i.
Passo 6
Agora para
, seja
tais que
Passo 7
Agrupando em
e
temos
Passo 8
Como
é subconjunto de
e, portanto, l.i., obrigatoriamente
Passo 9
Solução: somando dá
então
e daí
. Logo só a trivial é solução, e o conjunto é l.i.
Resposta
Os conjuntos
e
são linearmente independentes.