Sejam V um espaço vetorial e u, v, w subset V um conjunto l.i. Mostre que os seguintes conjuntos u, u+v, u+v+w também são l.i.
u-v, u+v;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, partindo de um conjunto l.i. u,v,w, os vetores trocados ou somados ainda formam conjuntos l.i. O tema é independência linear, e vamos usar a definição: um conjunto xi é l.i. se a única combinação sumilambdai xi=0 ocorre quando todos lambdai=0.

Passo 2

Seja o primeiro conjunto u,;u+v,;u+v+w. Considere escalares a,b,c tais que
a,u + b,(u+v) + c,(u+v+w) = 0

Passo 3

Distribuindo e agrupando em u,v,w obtemos
(a+b+c),u + (b+c),v + c,w = 0

Passo 4

Como u,v,w é l.i., os coeficientes devem ser zero:
a+b+c=0, b+c=0, c=0

Passo 5

Daí c=0, depois b=0 e finalmente a=0. Logo só há solução trivial, e o conjunto é l.i.

Passo 6

Agora para u-v,;u+v, seja alpha,beta tais que
alpha,(u-v) + beta,(u+v) = 0

Passo 7

Agrupando em u e v temos
(alpha+beta),u + (-alpha+beta),v = 0

Passo 8

Como u,v é subconjunto de u,v,w e, portanto, l.i., obrigatoriamente
alpha+beta=0, -alpha+beta=0

Passo 9

Solução: somando dá 2beta=0 então beta=0 e daí alpha=0. Logo só a trivial é solução, e o conjunto é l.i.

Resposta

Os conjuntos u,;u+v,;u+v+w e u-v,;u+v são linearmente independentes.

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