O elemento de aço estrutural A-36 construído com cerfil W14 × 30 é usado como uma coluna de 20 pés acoplada por pino. Determinar a carga excêntrica máxima P que lhe pode ser aplicada de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse valor com uma carga axial crítica P^{\prime} aplicada através do centróide da coluna.

Passo 1

O enunciado dá: coluna de aço A-36, seção W14\times30, comprimento 20 pés apoiada por pinos nas duas extremidades (logo K=1). Pede: determinar a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que NÃO ocorra flambagem nem escoamento (yield). Em seguida comparar esse valor com uma carga axial crítica P^{\prime} aplicada através do centróide (caso concêntrico).\n
Informações relevantes fornecidas ou necessárias e adotadas aqui:
L=20\\ \text{ft}=240\\ \text{in},\quad K=1.
Vou usar propriedades padrão de tabela para a seção W14\times30. Peguei esses dados em tabela padrão de perfis W:
A=8{,}836\\ \text{in}^2,\quad I_x=236\\ \text{in}^4,\quad S_x=\dfrac{I_x}{c}=34{,}4\\ \text{in}^3,\quad c=\dfrac{d}{2}\approx6{,}87\\ \text{in}.
Propriedades do material (A-36):
E=29\,000\\ \text{ksi},\quad F_y=36\\ \text{ksi}.
Observação: os valores de A, I_x, S_x foram obtidos da tabela padrão de perfis W para W14\times30.

Passo 2

Conceito de flambagem (Euler) e fórmula: para uma coluna ideal com extremidades engastadas-pino/característica de flambagem representada por K, a carga crítica de Euler é dada por
P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{(K L)^2}.
Expliquei as variáveis:
  • E módulo de elasticidade (aqui 29\,000\\ \text{ksi});
  • I momento de inércia em relação ao eixo de flambagem (aqui I_x);
  • L comprimento da coluna em polegadas;
  • K comprimento efetivo (para pino-pino K=1).\n
    Vamos calcular numericamente P_{cr} (unidade: kips), mantendo I em \text{in}^4 e L em \text{in}:
P_{cr}=\dfrac{\pi^2(29\,000)(236)}{(240)^2}.
Faço as contas passo a passo:
\pi^2\approx9{,}8696,\quad 29\,000\times236=6\,844\,000,
\pi^2 E I \approx 9{,}8696\times6\,844\,000\approx67\,582\,000,
L^2=240^2=57\,600,
P_{cr}\approx\dfrac{67\,582\,000}{57\,600}\approx1\,173{,}8\\ \text{kips}.

Passo 3

Conceito de escoamento para carga excêntrica: quando a carga P é aplicada com excentricidade e em relação ao centróide, ela produz uma força axial P e um momento M=P\,e. A tensão máxima na fibra mais solicitada é a soma da tensão de axil e da tensão por flexão:
\sigma_{\max}=\dfrac{P}{A}+\dfrac{M\,c}{I}=\dfrac{P}{A}+\dfrac{P e\, c}{I}.
Aqui c é a distância do centróide até a fibra mais afastada; usando S=I/c obtemos a forma conveniente:
\sigma_{\max}=\dfrac{P}{A}+\dfrac{P e}{S}=P\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}\right).
Para evitar escoamento exigimos \sigma_{\max}\le F_y, logo:
P\le \dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}}.
Expliquei as variáveis:
  • A área da seção ( \text{in}^2);
  • S módulo de seção em \text{in}^3;
  • e excentricidade (em \text{in});
  • F_y tensão de escoamento ( \text{ksi}).\n
    Observação de unidades: F_y em \text{ksi}= \text{kips}/\text{in}^2; os termos \dfrac{1}{A} e \dfrac{e}{S} têm dimensão \text{in}^{-2}, então o quociente dá P em kips.

Passo 4

Conclusão lógica sobre controle da falha: a carga admissível deve satisfazer simultaneamente a condição de não flambagem e a condição de não escoamento. Portanto o valor máximo permissível é
P_{\max}(e)=\min\!\left\{P_{cr},\; \dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}}\right\}.
Isto significa: o menor entre a carga crítica de Euler e a carga limitada pelo escoamento por flexão+axial controla a resistência.

Passo 5

Aplicando os valores numéricos (usando A=8{,}836\\ \text{in}^2,\\ S=34{,}4\\ \text{in}^3,\\ F_y=36\\ \text{ksi} e P_{cr} calculado no Passo 2):
A expressão para o limite por escoamento fica
P_{y}(e)=\dfrac{36}{\dfrac{1}{8{,}836}+\dfrac{e}{34{,}4}}\quad\text{(kips)}.
Calculo de alguns casos ilustrativos (valores aproximados, P em kips):
\begin{aligned} e&=0 &: &\quad P_{y}(0)=\dfrac{36}{1/8{,}836}=36\times8{,}836\approx318{,}1\\ \text{kips}\\\ e&=1\\ \text{in} &: &\quad P_{y}(1)=\dfrac{36}{0{,}113137+0{,}02907}\approx253{,}1\\ \text{kips}\\\ e&=2\\ \text{in} &: &\quad P_{y}(2)\approx210{,}2\\ \text{kips}\\\ e&=4\\ \text{in} &: &\quad P_{y}(4)\approx157{,}0\\ \text{kips}. \end{aligned}
Compare com P_{cr} obtido:
P_{cr}\approx1\,173{,}8\\ \text{kips}.
Como P_{cr} é muito maior que P_{y}(e) para todos os e\ge0 razoáveis, o controle da resistência para esta coluna curta é por escoamento (ou seja, o escoamento por combinação axial+flexão ocorre antes da flambagem). Logo
P_{\max}(e)=P_{y}(e)=\dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}}.

Passo 6

Interpretação e comparação final (motivação para a prova): a carga axial “crítica” aplicada concêntrica que leva a escoamento é simplesmente a carga axial que produz tensão igual a F_y sem momento, isto é
P^{\prime}=A F_y=8{,}836\times36\approx318{,}1\\ \text{kips}.
Portanto:
  • para excentricidade e=0 (concêntrico) a capacidade é P^{\prime}\approx318{,}1\\ \text{kips};
  • para qualquer e>0 a capacidade cai segundo a fórmula P_{y}(e) acima (ex.: e=1\\ \text{in}\Rightarrow P\approx253{,}1\\ \text{kips});
  • a flambagem de Euler ( P_{cr}\approx1{,}173{,}8\\ \text{kips}) NÃO controla neste caso (é muito maior), então a limitação pratica vem do escoamento combinado.

Resposta

P_{\max}(e)=\min\!\left\{\dfrac{\pi^2 E I}{(K L)^2},\; \dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}}\right\}=\dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}} (para os valores adotados abaixo), com A=8{,}836\\ \text{in}^2,\\ I=236\\ \text{in}^4,\\ S=34{,}4\\ \text{in}^3,\\ E=29\,000\\ \text{ksi},\\ F_y=36\\ \text{ksi},\\ L=240\\ \text{in},\\ K=1.\n Valores numéricos: \(P_{cr}\approx1\,173{,}8\\ \text{kips} e P^{\prime}=A F_y\approx318{,}1\\ \text{kips}. Exemplos: P_{\max}(e=0)=318{,}1\\ \text{kips}, P_{\max}(e=1\\ \text{in})\approx253{,}1\\ \text{kips}, P_{\max}(e=2\\ \text{in})\approx210{,}2\\ \text{kips}.)

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