O elemento de aço estrutural A-36 construído com cerfil W14 × 30 é usado como uma coluna de 20 pés acoplada por pino. Determinar a carga excêntrica máxima P que lhe pode ser aplicada de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse valor com uma carga axial crítica P^{\prime} aplicada através do centróide da coluna.
Passo 1
O enunciado dá: coluna de aço A-36, seção W14\times30, comprimento 20 pés apoiada por pinos nas duas extremidades (logo K=1). Pede: determinar a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que NÃO ocorra flambagem nem escoamento (yield). Em seguida comparar esse valor com uma carga axial crítica P^{\prime} aplicada através do centróide (caso concêntrico).\n
Informações relevantes fornecidas ou necessárias e adotadas aqui:
L=20\\ \text{ft}=240\\ \text{in},\quad K=1.
Vou usar propriedades padrão de tabela para a seção W14\times30. Peguei esses dados em tabela padrão de perfis W:
Observação: os valores de A, I_x, S_x foram obtidos da tabela padrão de perfis W para W14\times30.
Passo 2
Conceito de flambagem (Euler) e fórmula: para uma coluna ideal com extremidades engastadas-pino/característica de flambagem representada por K, a carga crítica de Euler é dada por
P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{(K L)^2}.
Expliquei as variáveis:
E módulo de elasticidade (aqui 29\,000\\ \text{ksi});
I momento de inércia em relação ao eixo de flambagem (aqui I_x);
L comprimento da coluna em polegadas;
K comprimento efetivo (para pino-pino K=1).\n
Vamos calcular numericamente P_{cr} (unidade: kips), mantendo I em \text{in}^4 e L em \text{in}:
Conceito de escoamento para carga excêntrica: quando a carga P é aplicada com excentricidade e em relação ao centróide, ela produz uma força axial P e um momento M=P\,e. A tensão máxima na fibra mais solicitada é a soma da tensão de axil e da tensão por flexão:
Para evitar escoamento exigimos \sigma_{\max}\le F_y, logo:
P\le \dfrac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e}{S}}.
Expliquei as variáveis:
A área da seção (\text{in}^2);
S módulo de seção em \text{in}^3;
e excentricidade (em \text{in});
F_y tensão de escoamento (\text{ksi}).\n
Observação de unidades: F_y em \text{ksi}= \text{kips}/\text{in}^2; os termos \dfrac{1}{A} e \dfrac{e}{S} têm dimensão \text{in}^{-2}, então o quociente dá P em kips.
Passo 4
Conclusão lógica sobre controle da falha: a carga admissível deve satisfazer simultaneamente a condição de não flambagem e a condição de não escoamento. Portanto o valor máximo permissível é
Isto significa: o menor entre a carga crítica de Euler e a carga limitada pelo escoamento por flexão+axial controla a resistência.
Passo 5
Aplicando os valores numéricos (usando A=8{,}836\\ \text{in}^2,\\ S=34{,}4\\ \text{in}^3,\\ F_y=36\\ \text{ksi} e P_{cr} calculado no Passo 2):
A expressão para o limite por escoamento fica
Como P_{cr} é muito maior que P_{y}(e) para todos os e\ge0 razoáveis, o controle da resistência para esta coluna curta é por escoamento (ou seja, o escoamento por combinação axial+flexão ocorre antes da flambagem). Logo
Interpretação e comparação final (motivação para a prova): a carga axial “crítica” aplicada concêntrica que leva a escoamento é simplesmente a carga axial que produz tensão igual a F_y sem momento, isto é
para excentricidade e=0 (concêntrico) a capacidade é P^{\prime}\approx318{,}1\\ \text{kips};
para qualquer e>0 a capacidade cai segundo a fórmula P_{y}(e) acima (ex.: e=1\\ \text{in}\Rightarrow P\approx253{,}1\\ \text{kips});
a flambagem de Euler (P_{cr}\approx1{,}173{,}8\\ \text{kips}) NÃO controla neste caso (é muito maior), então a limitação pratica vem do escoamento combinado.