14.43 • Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal da rua para que uma mangueira de incêndio ligada a ele seja capaz de lançar água até uma altura de 15,0 \mathrm{~m} ? (Suponha que o diâmetro do tubo principal seja muito maior que o diâmetro da mangueira de incêndio.)

Passo 1

O enunciado pede a pressão manométrica no tubo principal para que a mangueira lance água até uma altura de 15,0\\ \mathrm{m}. Informações e hipóteses úteis (retiradas do enunciado):
  • altura máxima desejada: h=15,0\\ \mathrm{m};
  • o diâmetro do tubo principal é muito maior que o da mangueira, logo a velocidade da água no tubo principal é desprezível: v_1\approx0;
  • a saída da mangueira está ao nível do tubo (podemos escolher mesma cota de referência para os dois pontos); a pressão na saída da mangueira é a pressão atmosférica: P_2=P_{\text{atm}};
  • massa volúmica da água (assumida): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3};
  • aceleração da gravidade: g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
    O que se pede: pressão manométrica no tubo principal, isto é P_{\text{man}}=P_1-P_{\text{atm}}.

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade mínima da água na saída da mangueira para que o jato alcance 15,0\\ \mathrm{m}. Relação entre velocidade inicial de um jato vertical e altura máxima (energia ou cinemática):
h=\frac{v_2^{2}}{2g}.
Nessa fórmula:
  • h é a altura máxima alcançada a partir da saída,
  • v_2 é a velocidade do jato na saída,
  • g é a aceleração da gravidade.
    Isolando v_2:
v_2=\sqrt{2gh}.
Substituindo g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} e h=15,0\\ \mathrm{m}:
v_2=\sqrt{2\cdot 9,80\cdot 15,0}=\sqrt{294}=17,15\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).

Passo 3

Explicando Bernoulli de forma simples: entre dois pontos em um mesmo fluido incompressível, em escoamento estacionário e sem perdas por atrito, vale
P+\rho g z+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\text{constante},
onde P é a pressão, \rho a massa volúmica, z a cota vertical e v a velocidade local.
Aplicamos Bernoulli entre o interior do tubo principal (ponto 1) e a saída da mangueira (ponto 2). Escolhendo as cotas iguais ( z_1=z_2) e usando v_1\approx0 e P_2=P_{\text{atm}}, temos:
P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2}=P_{\text{atm}}+\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
Como v_1\approx0, isso reduz para
P_1-P_{\text{atm}}=\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
O lado esquerdo é exatamente a pressão manométrica pedida: P_{\text{man}}=\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.

Passo 4

Calcular numericamente P_{\text{man}} com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e v_2^{2}=294\\ \mathrm{m^2/s^2}:
P_{\text{man}}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 294=500\cdot 294=147000\\ \mathrm{Pa}.
Converter para unidades mais usuais:
147000\\ \mathrm{Pa}=147\\ \mathrm{kPa}\approx 1,45\\ \text{atm (aprox.)}.

Passo 5

Interpretação prática: a pressão manométrica necessária no tubo principal é cerca de 147\\ \mathrm{kPa}. Isso é a pressão acima da atmosférica; a pressão absoluta no tubo seria P_{\text{abs}}=P_{\text{atm}}+147\\ \mathrm{kPa}. Se houver perdas por atrito, resistência da mangueira ou altura da saída diferente da do tubo, seria necessário um valor maior — aqui usamos o caso ideal (sem perdas) indicado pelo enunciado.

Resposta

P_{\text{man}}=1,47\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=147\\ \mathrm{kPa}

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