14.44 • Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a
é cortado na superficie lateral de um grande tanque de água, a uma profundidade de
abaixo da superfície. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Ache (a) a velocidade de efluxo da água; (b) o volume de água descarregado por segundo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a velocidade de efluxo da água pelo orifício;
- (b) o volume de água descarregado por segundo (vazão volumétrica).
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
- profundidade do orifício abaixo da superfície:
; - diâmetro do orifício:
; - o topo do tanque está aberto à atmosfera (pressão na superfície é pressão atmosférica);
- o fluido é água (assumimos densidade e comportamento típico de líquido incompressível).
Passo 2
Qual método usar e por quê (sem jargão complicado): quando um orifício em uma parede de tanque comunica-se com a superfície livre e o topo está aberto ao ar, a velocidade de saída da água pode ser obtida pela fórmula de Torricelli, que é conseguida a partir da equação de Bernoulli aplicada entre a superfície livre e o orifício.
A equação de Bernoulli (em forma simples e aplicada aqui) entre dois pontos de um fluido incompressível em escoamento estacionário é, sem entrar em complicações:
onde
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade do fluido no ponto considerado, -
é a aceleração da gravidade, -
é a cota vertical.
Explicando as escolhas: escolhemos um ponto 1 na superfície livre e o ponto 2 no orifício. A superfície e o orifício estão ambos expostos à pressão atmosférica, logo
e essas pressões se cancelam. Além disso, como o tanque é “grande”, a velocidade de descida da superfície
é desprezível frente à velocidade de saída
(ou seja,
). Definimos a cota da superfície como
e a do orifício como
. Substituindo e simplificando obtemos a fórmula de Torricelli:
Aqui:
-
é a velocidade de efluxo que queremos calcular, -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é a profundidade .
Passo 3
Calcular numericamente a velocidade com a fórmula de Torricelli.
Primeiro calcule o produto dentro da raiz:
Faço passo a passo:
Logo
Tirando raiz quadrada (mostrando o raciocínio numérico aproximado),
Arredondando de modo consistente com os dados (3 algarismos significativos do diâmetro e profundidade), podemos escrever
Passo 4
Agora vamos calcular a área do orifício para obter a vazão volumétrica. A área de um círculo é
onde
é o raio.
Converter o diâmetro para metros e achar o raio:
Calcular
e depois
:
Usando
,
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular a vazão volumétrica
. A definição simples de vazão (escoamento uniforme pelo orifício) é
onde
é a área do orifício e
a velocidade de saída.
Substituindo os valores que calculamos:
Faço a multiplicação:
Arredondando para três algarismos significativos:
Se preferir em litros por segundo (1
litros):
Passo 6
Observações práticas e dica para prova (empatia amiga): na prova use sempre os passos que fiz:
- converter unidades (mm → m),
- aplicar Bernoulli e justificar as simplificações (pressões iguais, velocidade na superfície desprezível),
- aplicar Torricelli
, - calcular área do orifício
, - então
.
Lembre-se: na prática real a velocidade pode ser um pouco menor por perdas (coeficiente de descarga
); mas para exercícios típicos de prova usar Torricelli direto é o esperado. Força aí — você consegue!
Resposta
(a)
(b) (≈
)
(b)