14.44 • Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 6,00 \mathrm{~mm} é cortado na superficie lateral de um grande tanque de água, a uma profundidade de 14,0 \mathrm{~m} abaixo da superfície. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Ache (a) a velocidade de efluxo da água; (b) o volume de água descarregado por segundo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a velocidade de efluxo da água pelo orifício;
  • (b) o volume de água descarregado por segundo (vazão volumétrica).
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
  • profundidade do orifício abaixo da superfície: h=14,0\\ \mathrm{m};
  • diâmetro do orifício: d=6,00\\ \mathrm{mm};
  • o topo do tanque está aberto à atmosfera (pressão na superfície é pressão atmosférica);
  • o fluido é água (assumimos densidade e comportamento típico de líquido incompressível).

Passo 2

Qual método usar e por quê (sem jargão complicado): quando um orifício em uma parede de tanque comunica-se com a superfície livre e o topo está aberto ao ar, a velocidade de saída da água pode ser obtida pela fórmula de Torricelli, que é conseguida a partir da equação de Bernoulli aplicada entre a superfície livre e o orifício.
A equação de Bernoulli (em forma simples e aplicada aqui) entre dois pontos de um fluido incompressível em escoamento estacionário é, sem entrar em complicações:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g y_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g y_2,
onde
  • P é a pressão,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade do fluido no ponto considerado,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • y é a cota vertical.
Explicando as escolhas: escolhemos um ponto 1 na superfície livre e o ponto 2 no orifício. A superfície e o orifício estão ambos expostos à pressão atmosférica, logo P_1=P_2 e essas pressões se cancelam. Além disso, como o tanque é “grande”, a velocidade de descida da superfície v_1 é desprezível frente à velocidade de saída v_2 (ou seja, v_1\approx 0). Definimos a cota da superfície como y_1=0 e a do orifício como y_2=-h. Substituindo e simplificando obtemos a fórmula de Torricelli:
v_2 = \sqrt{2 g h}.
Aqui:
  • v_2 é a velocidade de efluxo que queremos calcular,
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a profundidade 14,0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular numericamente a velocidade com a fórmula de Torricelli.
Primeiro calcule o produto dentro da raiz:
2 g h = 2\cdot 9{,}80\cdot 14{,}0.
Faço passo a passo:
2\cdot 9{,}80 = 19{,}6,
19{,}6\cdot 14{,}0 = 274{,}4.
Logo
v = \sqrt{274{,}4}.
Tirando raiz quadrada (mostrando o raciocínio numérico aproximado),
\sqrt{274{,}4}\approx 16{,}56\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de modo consistente com os dados (3 algarismos significativos do diâmetro e profundidade), podemos escrever
v \approx 16{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos calcular a área do orifício para obter a vazão volumétrica. A área de um círculo é
A = \pi r^2,
onde r é o raio.
Converter o diâmetro para metros e achar o raio:
d = 6{,}00\\ \mathrm{mm} = 6{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},
r = \frac{d}{2} = 3{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calcular r^2 e depois A:
r^2 = (3{,}00\times10^{-3})^2 = 9{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
A = \pi\cdot 9{,}00\times10^{-6} = 9{,}00\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Usando \pi\approx 3{,}1416,
A \approx 2{,}8274\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando razoavelmente:
A \approx 2{,}83\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q. A definição simples de vazão (escoamento uniforme pelo orifício) é
Q = A \, v,
onde A é a área do orifício e v a velocidade de saída.
Substituindo os valores que calculamos:
Q \approx (2{,}8274\times10^{-5})\cdot(16{,}56).
Faço a multiplicação:
Q \approx 4{,}6828\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
Q \approx 4{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Se preferir em litros por segundo (1 \mathrm{m^3}=1000 litros):
Q \approx 0{,}468\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Observações práticas e dica para prova (empatia amiga): na prova use sempre os passos que fiz:
  • converter unidades (mm → m),
  • aplicar Bernoulli e justificar as simplificações (pressões iguais, velocidade na superfície desprezível),
  • aplicar Torricelli v=\sqrt{2gh},
  • calcular área do orifício A=\pi r^2,
  • então Q=Av.
Lembre-se: na prática real a velocidade pode ser um pouco menor por perdas (coeficiente de descarga C_d<1); mas para exercícios típicos de prova usar Torricelli direto é o esperado. Força aí — você consegue!

Resposta

(a) v \approx 16{,}6\\ \mathrm{m/s}
(b) Q \approx 4{,}68\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s} (≈ 0{,}468\\ \mathrm{L/s})

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