14.48 - Uma bebida leve (essencialmente água) escoa em um tubo de uma fábrica de cerveja com vazīo volumétrica tal que deve encher 220 latas de 355 ml por minuto. Em um ponto 2 do tubo, a presslio manométrica é igual a 152 kPa , e a área da seçio reta é igual a 8,00 \mathrm{~cm}^{2}. Em um ponto 1, situado 1,35 \mathrm{~m} acima do ponto 2, a área da seçîo reta é igual a 2,00 \mathrm{~cm}^{2}. Obtenha (a) a vazão mássica; (b) a vazāo volumétrica; (c) as velocidades de escoamento nos pontos 1 e 2; (d) a pressão manométrica no ponto 1 .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) a vazão mássica; (b) a vazão volumétrica; (c) as velocidades de escoamento nos pontos 1 e 2; (d) a pressão manométrica no ponto 1.
As informações fornecidas (pegar os dados do enunciado) são:
  • Taxa de enchimento: 220 latas por minuto, cada lata com volume 355\\ \mathrm{mL}.
  • Pressão manométrica no ponto 2: 152\\ \mathrm{kPa} (ou seja, p_2 = 152\\ \mathrm{kPa}, pressão gauge).
  • Área da seção no ponto 2: A_2 = 8{,}00\\ \mathrm{cm^2}.
  • Área da seção no ponto 1: A_1 = 2{,}00\\ \mathrm{cm^2}.
  • Diferença de altura: o ponto 1 está 1{,}35\\ \mathrm{m} acima do ponto 2 (ou seja, z_1 - z_2 = 1{,}35\\ \mathrm{m}).
    Dados constantes que vamos usar (já que a bebida é essencialmente água):
  • Densidade: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (aproximação para água).
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Converter o volume por lata para metros cúbicos e obter a vazão volumétrica pedida em unidades úteis.
Uma lata tem 355\\ \mathrm{mL} = 355\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3} = 0{,}355\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
O volume total por minuto é
\dot V_{\text{min}} = 220\times(355\times10^{-6}) = 0{,}0781\\ \mathrm{m^3/min}.
Para trabalhar em SI, convertemos para \mathrm{m^3/s} dividindo por 60:
\dot V = \frac{0{,}0781}{60} = 0{,}0013016667\\ \mathrm{m^3/s}.
(Arredondaremos nas respostas finais; por enquanto guardamos o valor com precisão suficiente.)

Passo 3

Calcular a vazão mássica usando a relação entre massa específica e vazão volumétrica. A definição de vazão mássica é
\dot m = \rho\,\dot V,
onde \dot m é a massa por unidade de tempo (kg/s), \rho é a densidade (kg/m^3) e \dot V é a vazão volumétrica (m^3/s). Substituindo:
\dot m = 1000\times 0{,}0013016667 = 1{,}3016667\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Converter as áreas dadas em \mathrm{cm^2} para \mathrm{m^2}. Lembrando que 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
A_1 = 2{,}00\\ \mathrm{cm^2} = 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} = 0{,}000200\\ \mathrm{m^2},
A_2 = 8{,}00\\ \mathrm{cm^2} = 8{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} = 0{,}000800\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Usar a equação da continuidade (conservação de massa para fluido incompressível em regime estacionário):
\dot V = A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde v_1 e v_2 são as velocidades médias nos pontos 1 e 2. Assim,
v_1 = \frac{\dot V}{A_1},\qquad v_2 = \frac{\dot V}{A_2}.
Substituindo os valores:
v_1 = \frac{0{,}0013016667}{0{,}000200} = 6{,}5083335\\ \mathrm{m/s},
v_2 = \frac{0{,}0013016667}{0{,}000800} = 1{,}6270833\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida do porquê: se a área diminui, o fluido precisa passar mais rápido para a mesma vazão volumétrica — por isso v_1>v_2, já que A_1<A_2.

Passo 6

Determinar a pressão p_1 a partir da equação de Bernoulli (sem perdas) entre os pontos 1 e 2. A forma da equação de Bernoulli para fluido incompressível e escoamento estacionário é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}.
Aplicando entre 1 e 2 e isolando p_1:
p_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) + \rho g\bigl(z_2 - z_1\bigr).
Como z_1 - z_2 = 1{,}35\\ \mathrm{m}, tem-se z_2 - z_1 = -1{,}35\\ \mathrm{m}. Observação importante: ambas as pressões são dadas como pressões manométricas (gauge); quando se usa Bernoulli entre dois pontos e ambas as pressões são medidas na mesma referência (gauge), pode-se usar essas pressões diretamente na equação (ou acrescentar a pressão atmosférica em ambos os lados, que se cancela).

Passo 7

Calcular cada termo numérico da expressão para p_1. Primeiro os quadrados das velocidades:
v_1^2 = (6{,}5083335)^2 \approx 42{,}3584\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
v_2^2 = (1{,}6270833)^2 \approx 2{,}6474\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Diferença dos termos dinâmicos:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) = \tfrac{1}{2}\times1000\times(2{,}6474 - 42{,}3584) = 500\times(-39{,}7110)\approx -19\,855{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Termo gravitacional:
\rho g (z_2 - z_1) = 1000\times9{,}81\times(-1{,}35) = -13\,243{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Somando no lado direito com p_2:
p_1 = 152\,000\\ \mathrm{Pa} - 19\,855{,}5\\ \mathrm{Pa} - 13\,243{,}5\\ \mathrm{Pa} = 118\,901{,}0\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{kPa}:
p_1 \approx 118{,}9\\ \mathrm{kPa}\\ \text{(manométrica)}.é

Passo 8

Resumo dos resultados com arredondamento coerente (3 algarismos significativos, compatível com os dados dados) e checagem rápida de sentido: velocidade maior na seção menor e pressão em 1 menor que em 2 (devido à maior energia cinética e elevação), o que faz sentido físico.

Resposta

(a) \dot m = 1{,}30\\ \mathrm{kg/s}
(b) \dot V = 1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}
(c) v_1 = 6{,}51\\ \mathrm{m/s} e v_2 = 1{,}63\\ \mathrm{m/s}
(d) p_1 = 118{,}9\\ \mathrm{kPa}

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