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Artur comprou dez bolas idênticas para distribuir para os seus três filhos. De quantas maneiras Artur poderá fazer essa distribuição, sendo que cada um dos seus três filhos receberá pelo menos uma bola cada um?
(A) 72
(B) 64
(C) 48
(D) 36
(E) 24
Artur comprou dez bolas idênticas para distribuir para os seus três filhos. De quantas maneiras Artur poderá fazer essa distribuição, sendo que cada um dos seus três filhos receberá pelo menos uma bola cada um?
(A) 72
(B) 64
(C) 48
(D) 36
(E) 24
Passo 1
O problema pede o número de maneiras de distribuir 10 bolas idênticas entre 3 filhos, de forma que cada filho receba pelo menos uma bola. O conteúdo é uma aplicação de stars and bars (bastões e estrelas) em contagem de partições com restrição mínima.
Passo 2
Vamos chamar de
a distribuição, onde
é o número de bolas do
-ésimo filho. A condição é
com
para
.
Passo 3
Para aplicar a fórmula de não-negativos, definimos
assim
e
Passo 4
O número de soluções não-negativas de
é dado por
Resposta
36 (alternativa D)