[14] Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
r=-1+sen theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva em coordenadas polares dada por r(theta)=-1+sintheta no intervalo 0<=theta<=2pi. O conteúdo principal é a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares: L=integrala^braizr^2+l(tfracdrdthetar)^2,dtheta.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada tfracdrdtheta. Como r(theta)=-1+sintheta, temos
drdtheta=costheta

Passo 3

Em seguida montamos o integrando:
r^2+l(tfracdrdthetar)^2=(-1+sintheta)^2+cos^2theta =1-2sintheta+sin^2theta+cos^2theta=2-2sintheta
Logo o comprimento é
L=integral0^2piraiz2-2sintheta,dtheta=raiz2integral0^2piraiz1-sintheta,dtheta

Passo 4

Para resolver I=integral0^2piraiz1-sintheta,dtheta fazemos a troca phi=theta-tfracpi2, de modo que 1-sintheta=1-cosphi=2sin^2(tfracphi2). Então
I=integral-pi/2^3pi/2raiz2sin^2(tfracphi2),dphi=raiz2integral-pi/2^3pi/2|sin(tfracphi2)|,dphi
Fazendo t=phi/2 obtemos
I=2raiz2integral-pi/4^3pi/4|sin t|,dt=2raiz2l[(1-tfracraiz22)+(1+tfracraiz22)r]=4raiz2

Passo 5

Voltando para L=raiz2,I temos L=raiz2cdot4raiz2=8.

Resposta

8

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