A derivada da função f(x)=xtg x no ponto pi-22 é:
а) 2-pi2
d) pi-12
b) 1-pi2
e) pi2
c)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x/ tg x no ponto x=π/4, ou seja, queremos f’(π/4). O conteúdo principal aqui é a regra do quociente e a derivada da função tangente.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, lembre que, se u(x)=x e v(x)=tg x, então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculando as derivadas auxiliares: u’(x)=1 e v’(x)=sec^2 x. Substituindo em f’(x) obtemos
f'(x)=1cdottan x - xcdotsec^2 xtan^2 x

Passo 4

Agora basta avaliar em x=π/4. Sabendo que tan(π/4)=1 e sec^2(π/4)=2, temos
f'l(tfracpi4r)=1 - (tfracpi4)cdot21^2=1 - pi2=2-pi2

Resposta

2-pi2

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