Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
, que é do tipo singular em
. O conteúdo envolvido é integração de funções logarítmicas e o que precisamos é usar um limite para tratar a singularidade em 0 e, em seguida, avaliar a convergência absoluta.
Passo 2
Vamos calcular um antiderivado de
por integração por partes. Escolhemos
e
, então
e
. Logo temos:
Passo 3
Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
Passo 4
Substituindo o antiderivado e avaliando o limite:
Passo 5
Como
e
, segue que
Passo 6
Para verificar a convergência absoluta, consideramos
Passo 7
Repetindo o cálculo ou reconhecendo que é
vezes o resultado anterior com sinal trocado, obtemos
Passo 8
Como a integral do valor absoluto é finita, concluímos que a integral original é absolutamente convergente.
Resposta
A integral converge e vale
. Além disso, é absolutamente convergente.