Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^1 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral0^1ln x,dx, que é do tipo singular em x=0. O conteúdo envolvido é integração de funções logarítmicas e o que precisamos é usar um limite para tratar a singularidade em 0 e, em seguida, avaliar a convergência absoluta.

Passo 2

Vamos calcular um antiderivado de ln x por integração por partes. Escolhemos u=ln x e dv=dx, então du=tfrac1xdx e v=x. Logo temos:
integralln x,dx = xln x - integral xcdottfrac1x,dx = xln x - integral 1,dx = xln x - x + C

Passo 3

Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
integral0^1ln x,dx = limato0^+integrala^1ln x,dx

Passo 4

Substituindo o antiderivado e avaliando o limite:
integrala^1ln x,dx = l[xln x - xr]a^1 = l(1cdot0 - 1r) - l(aln a - ar) = -1 - (aln a - a)

Passo 5

Como limato0^+aln a=0 e limato0^+a=0, segue que
integral0^1ln x,dx = -1 - (0-0) = -1

Passo 6

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
integral0^1|ln x|,dx = integral0^1(-ln x),dx

Passo 7

Repetindo o cálculo ou reconhecendo que é -1) vezes o resultado anterior com sinal trocado, obtemos
integral0^1(-ln x),dx = 1

Passo 8

Como a integral do valor absoluto é finita, concluímos que a integral original é absolutamente convergente.

Resposta

A integral converge e vale -1. Além disso, é absolutamente convergente.

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