Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
I=integral-infty^+inftycosl(x^2-1r),e^-x^2x^4+x^2+7,dx
Estamos em matéria de integrais impróprias em intervalo infinito. Para resolver, vamos precisar: identificar onde a integral é imprópria, usar teste de convergência (comparação) e discutir convergência absoluta. Por fim, se possível, estimar numericamente o valor.

Passo 2

Primeiro observamos que o denominador nunca zera ( x^4+x^2+7>0 para todo x), então não há singularidade no domínio finito. A integral só é imprópria por ocorrer nos limites xtopminfty.

Passo 3

Para testar convergência usamos comparação: para |x|>1
omega
x^4+x^2+7> x^4Longrightarrow|cos(x^2-1)e^-x^2x^4+x^2+7|<= e^-x^2x^4
Sabemos que e^-x^2/x^4 decai muito rápido e que
integral1^inftye^-x^2x^4,dx
Logo a integral converge absolutamente.

Passo 4

Como a integral converge em valor absoluto, ela também converge. Convergência absoluta garante que podemos trocar soma e integral em séries e que o valor numérico existe e é finito.

Passo 5

Para calcular aproximamos numericamente. Note que a função é par, pois
f(-x)=cos(x^2-1)e^-x^2x^4+x^2+7=f(x)
Então
I=2integral0^inftycos(x^2-1)e^-x^2x^4+x^2+7,dx
Fazendo uma quadratura numérica (por exemplo regra de Simpson em [0,3] já que para x>3 o termo e^-x^2 é negligenciável) obtemos
Iapprox0.16

Passo 6

Portanto, a integral converge e é absolutamente convergente, e seu valor aproximado é 0.16.

Resposta

A integral converge, é absolutamente convergente, e seu valor aproximado é 0.16.

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