Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
Estamos em matéria de integrais impróprias em intervalo infinito. Para resolver, vamos precisar: identificar onde a integral é imprópria, usar teste de convergência (comparação) e discutir convergência absoluta. Por fim, se possível, estimar numericamente o valor.
Passo 2
Primeiro observamos que o denominador nunca zera ( para todo ), então não há singularidade no domínio finito. A integral só é imprópria por ocorrer nos limites .
Passo 3
Para testar convergência usamos comparação: para
omega
Sabemos que e^-x^2/x^4 decai muito rápido e que integral1^inftye^-x^2x^4,dx
Logo a integral converge absolutamente.
Passo 4
Como a integral converge em valor absoluto, ela também converge. Convergência absoluta garante que podemos trocar soma e integral em séries e que o valor numérico existe e é finito.
Passo 5
Para calcular aproximamos numericamente. Note que a função é par, pois
f(-x)=cos(x^2-1)e^-x^2x^4+x^2+7=f(x)
Então I=2integral0^inftycos(x^2-1)e^-x^2x^4+x^2+7,dx
Fazendo uma quadratura numérica (por exemplo regra de Simpson em [0,3] já que para x>3 o termo e^-x^2 é negligenciável) obtemos
Iapprox0.16
Passo 6
Portanto, a integral converge e é absolutamente convergente, e seu valor aproximado é 0.16.
Resposta
A integral converge, é absolutamente convergente, e seu valor aproximado é 0.16.