Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência de , calcular seu valor se convergente e verificar a convergência absoluta. O conteúdo envolvido é de integrais impróprias, testes de convergência e técnicas de função complexa.
Passo 2
Convergência no ponto : para temos , logo o integrando se comporta como , que é integrável em torno de zero.
Convergência no infinito: para temos . Como integralA^inftyx^-2dx converge, nossa integral converge também em infinito.
Passo 3
Convergência absoluta: analisamos integral0^infty|xsin x|1+x^3dx. Perto de zero o integrando sim x^2 é integrável, e no infinito sim x^-2 também é integrável. Logo a integral é absolutamente convergente.
Passo 4
Para calcular o valor, escrevemos I=integral0^inftyxsin x1+x^3dx=Imintegral0^inftyx e^ix1+x^3dx e vamos usar contorno semicircular no semiplano superior.
Os polos de 1+z^3=0 são zk=e^i(pi+2kpi)/3. No semiplano superior fica apenas z0=e^ipi/3.
Passo 5
O resíduo no polo z0 é dado por
Pelo teorema dos resíduos obtemos
Resz0z e^iz1+z^3=limzto z0z e^iz3z^2=e^iz03z0
Passo 6
Como z0=e^ipi/3, temos iz0=-tfracraiz32+itfrac12, então