Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty x sen x1+x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência de integral0^inftyxsin x1+x^3,dx, calcular seu valor se convergente e verificar a convergência absoluta. O conteúdo envolvido é de integrais impróprias, testes de convergência e técnicas de função complexa.

Passo 2

Convergência no ponto 0: para xto0 temos sin xsim x, logo o integrando se comporta como xcdot x1=x^2, que é integrável em torno de zero.
Convergência no infinito: para xtoinfty temos l|tfracxsin x1+x^3r|<=tfracxx^3=tfrac1x^2. Como integralA^inftyx^-2dx converge, nossa integral converge também em infinito.

Passo 3

Convergência absoluta: analisamos integral0^infty|xsin x|1+x^3dx. Perto de zero o integrando sim x^2 é integrável, e no infinito sim x^-2 também é integrável. Logo a integral é absolutamente convergente.

Passo 4

Para calcular o valor, escrevemos I=integral0^inftyxsin x1+x^3dx=Imintegral0^inftyx e^ix1+x^3dx e vamos usar contorno semicircular no semiplano superior.
Os polos de 1+z^3=0 são zk=e^i(pi+2kpi)/3. No semiplano superior fica apenas z0=e^ipi/3.

Passo 5

O resíduo no polo z0 é dado por
Pelo teorema dos resíduos obtemos
Resz0z e^iz1+z^3=limzto z0z e^iz3z^2=e^iz03z0

Passo 6

Como z0=e^ipi/3, temos iz0=-tfracraiz32+itfrac12, então
e^iz0=e^-raiz3/2l(costfrac12+isintfrac12r),1z0=e^-ipi/3=tfrac12-itfracraiz32
Extraindo a parte imaginária resulta
I=pi e^-raiz3/23l(raiz3sintfrac12+costfrac12r)

Resposta

A integral é absolutamente convergente e vale pi e^-raiz3/23l(raiz3sintfrac12+costfrac12r).

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