[14] Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
a cardioide
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva polar para . O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula que envolve e sua derivada.
Passo 2
A fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares é
Aqui temos , então
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica
Reconhecemos .
Passo 4
Para simplificar ainda mais, note que
logo
Portanto
L = integral0^2pi 2l|cos(tfractheta2)r|,dtheta
Passo 5
Para avaliar a integral, fazemos a mudança de variável u=theta/2, assim dtheta=2,du e theta=0to u=0, theta=2pito u=pi. A integral vira
L = integral0^pi 2l|cos ur| cdot 2,du = 4 integral0^pi |cos u|,du
Sabemos que integral0^pi |cos u|,du = 2 (porque de 0 a pi/2 dá 1 e de pi/2 a pi dá mais 1).
Passo 6
Concluímos que
L = 4 times 2 = 8
Ou seja, o comprimento de arco da cardioide r=1+costheta de 0 a 2pi é 8.