[14] Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
a cardioide r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva polar r=1+costheta para 0<=theta<=2pi. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula que envolve r(theta) e sua derivada.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares é
L = integral0^2pi raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui temos r(theta)=1+costheta, então
r'(theta) = -sintheta

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
raiz(1+costheta)^2 + (-sintheta)^2 = raiz1 + 2costheta + cos^2theta + sin^2theta = raiz2 + 2costheta
Reconhecemos 2 + 2costheta = 2(1+costheta).

Passo 4

Para simplificar ainda mais, note que
1 + costheta = 2cos^2l(theta2r),
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raiz2(1+costheta) = raiz4cos^2l(theta2r) = 2l|costfractheta2r|
Portanto
L = integral0^2pi 2l|cos(tfractheta2)r|,dtheta

Passo 5

Para avaliar a integral, fazemos a mudança de variável u=theta/2, assim dtheta=2,du e theta=0to u=0, theta=2pito u=pi. A integral vira
L = integral0^pi 2l|cos ur| cdot 2,du = 4 integral0^pi |cos u|,du
Sabemos que integral0^pi |cos u|,du = 2 (porque de 0 a pi/2 dá 1 e de pi/2 a pi dá mais 1).

Passo 6

Concluímos que
L = 4 times 2 = 8
Ou seja, o comprimento de arco da cardioide r=1+costheta de 0 a 2pi é 8.

Resposta

8

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