Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da integral imprópria e, se convergente, verificar a convergência absoluta e, se possível, calcular seu valor:
O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias usando comparações assintóticas.
Passo 2
Primeiro, analisar o comportamento em zero. Quando
temos
, então o integrando comporta-se como
. Logo, perto de zero
e como
Passo 3
Em seguida, analisar o comportamento em infinito. Quando
temos
, portanto
Passo 4
Como
decai exponencialmente, comparando com
por exemplo, a integral converge no infinito.
Portanto, a integral é convergente. Além disso, como o integrando é não negativo em todo o domínio, concluímos que ela é absolutamente convergente.
Portanto, a integral
Passo 5
Quanto ao valor exato, não há expressão elementar simples para
. Ela pode ser representada em termos de funções especiais (p.ex. funções de confluent hypergeometric), mas não resulta em uma forma fechada elementar.
Resposta
A integral converge e é absolutamente convergente, mas não admite valor fechado em funções elementares.