Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty x e^-xraizx^5+7 x^4+11 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da integral imprópria e, se convergente, verificar a convergência absoluta e, se possível, calcular seu valor: I=integral0^infty x e^-xraizx^5+7x^4+11,dx O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias usando comparações assintóticas.

Passo 2

Primeiro, analisar o comportamento em zero. Quando xto0^+ temos x^5+7x^4+11approx11, então o integrando comporta-se como xraiz11. Logo, perto de zero
x e^-xraizx^5+7x^4+11sim xraiz11,
e como integral0 ! x,dx converge, a integral não é problemática em x=0.

Passo 3

Em seguida, analisar o comportamento em infinito. Quando xto+infty temos x^5+7x^4+11sim x^5, portanto
x e^-xraizx^5+7x^4+11sim x e^-xx^5/2=e^-xx^3/2

Passo 4

Como e^-x/x^3/2 decai exponencialmente, comparando com e^-x/2 por exemplo, a integral converge no infinito.
Portanto, a integral I é convergente. Além disso, como o integrando é não negativo em todo o domínio, concluímos que ela é absolutamente convergente.

Passo 5

Quanto ao valor exato, não há expressão elementar simples para I. Ela pode ser representada em termos de funções especiais (p.ex. funções de confluent hypergeometric), mas não resulta em uma forma fechada elementar.

Resposta

A integral converge e é absolutamente convergente, mas não admite valor fechado em funções elementares.

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