• 14 - Calcule a integral dupla
I(a)=integral duplaR 11+x^2+y^2 d x d y
onde R=(x, y) in R^2 lvert, x^2+y^2=1a^2, e mostre que
lim a infty I(a)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I(a)=integral duplaR11+x^2+y^2,dx,dy
onde R é o disco de raio 1/a, ou seja
R=(x,y)mid x^2+y^2<=1/a^2,
e depois mostrar que limatoinftyI(a)=0.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares e o fator jacobiano para integrar funções radiais em discos.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
e a região R vira
0<= r<=1a, 0<=theta<=2pi
Assim
I(a) =integral0^2piintegral0^1/a11+r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Como a integral se separa em theta e r, temos
I(a) =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^1/ar1+r^2,drr) =2piintegral0^1/ar1+r^2,dr
Para a integral em r, usamos a substituição u=1+r^2, de modo que du=2r,dr.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral em r,
integral0^1/ar1+r^2,dr =12integralu=1^u=1+1/a^2duu =12l[ln(u)r]1^1+1/a^2 =12lnl(1+tfrac1a^2r)
Logo
I(a)=2picdot12lnl(1+tfrac1a^2r) =pilnl(1+tfrac1a^2r)

Passo 5

Para o limite quando atoinfty, note que 1/a^2to0, então
limatoinftyI(a) =pilimatoinftylnl(1+tfrac1a^2r) =piln(1)=0

Resposta

I(a)=piln!l(1+tfrac1a^2r),
e
limatoinftyI(a)=0

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