- 14 - Calcule a integral dupla
onde
, e mostre que
lim a infty I(a)=0
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
R é o disco de raio
1/a , ou seja
e depois mostrar que
limatoinftyI(a)=0 .
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares e o fator jacobiano para integrar funções radiais em discos.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares e o fator jacobiano para integrar funções radiais em discos.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
e a região
R vira
Assim
Passo 3
Como a integral se separa em
theta e
r , temos
Para a integral em
r , usamos a substituição
u=1+r^2 , de modo que
du=2r,dr .
Passo 4
Aplicando a substituição na integral em
r ,
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Passo 5
Para o limite quando
atoinfty , note que
1/a^2to0 , então
Resposta
e