Considere o seguinte problema de valor inicial:
ll y^prime prime+y^prime+y=g(t) y(0)=0, y^prime(0)=1 , onde g(t)= 0, & 0 <= t<2 2, & 2 <= t<10 0, & t >= 10
(a) Expresse g(t) em termos de funções degrau.
(b) Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=1s(s^2+s+1)
(c) Determine a solução do problema de valor inicial dado acima.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear não homogênea
y''+y'+y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde g(t) é uma função em “degraus” (peça–a–peça). Para resolver vamos usar transformada de Laplace: primeiro expressamos g(t) em termos de funções degrau, depois usamos Laplace para achar a solução no domínio de s e por fim fazemos a transformada inversa.

Passo 2

Precisamos escrever
g(t)= 0, & 0<= t<2, 2, & 2<= t<10, 0, & t>=10
usando a função degrau ,u(t-a). Como g(t) “liga” em t=2 com valor 2 e volta a zero em t=10, temos
g(t)=2,u(t-2)-2,u(t-10)

Passo 3

Queremos a transformada inversa de
Fazemos frações parciais:
Igualando numeradores:
Logo
Agora complete o quadrado em . A transformada inversa fica

Passo 4

Aplicamos Laplace à EDO. Chamando e usando , :
onde . Assim
ou seja
Reconhecemos do passo anterior.

Passo 5

Fazendo transformada inversa termo a termo e usando o teorema do deslocamento:
  1. do passo 3.
    Logo

Resposta

(a)
(b)
(c)

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