(a) Expresse g(t) em termos de funções degrau.
(b) Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=1s(s^2+s+1)
(c) Determine a solução do problema de valor inicial dado acima.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear não homogênea
y''+y'+y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde g(t) é uma função em “degraus” (peça–a–peça). Para resolver vamos usar transformada de Laplace: primeiro expressamos g(t) em termos de funções degrau, depois usamos Laplace para achar a solução no domínio de s e por fim fazemos a transformada inversa.
Passo 2
Precisamos escrever
g(t)= 0, & 0<= t<2, 2, & 2<= t<10, 0, & t>=10
usando a função degrau ,u(t-a). Como g(t) “liga” em t=2 com valor 2 e volta a zero em t=10, temos
g(t)=2,u(t-2)-2,u(t-10)
Passo 3
Queremos a transformada inversa de
Fazemos frações parciais:
Igualando numeradores:
Logo
Agora complete o quadrado em . A transformada inversa fica
Passo 4
Aplicamos Laplace à EDO. Chamando e usando , :
onde . Assim
ou seja
Reconhecemos do passo anterior.
Passo 5
Fazendo transformada inversa termo a termo e usando o teorema do deslocamento: