Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1raiznn+1
Este é um caso clássico de série alternante, e vamos usar o Teste de Leibniz (alternating series test). Para isso precisamos verificar duas coisas sobre
an = raiznn+1>=0:
  1. limntoinftyan=0.
  2. an é monotonamente decrescente para n grande.

Passo 2

Escrevemos a série na forma
sumn=1^infty(-1)^n-1an,
com
an=raiznn+1
O fator (-1)^n-1 garante a alternância de sinais.

Passo 3

Calculamos o limite de an:
limntoinftyan =limntoinftyraiznn+1 =limntoinftyn^1/2nl(1+1/nr) =limntoinfty1n^1/2(1+1/n)=0

Passo 4

Mostramos que an é decrescente para n>=2. Considere a função contínua
f(x)=raizxx+1, x>=1
Sua derivada é
f'(x) =(x+1)12raizx-raizx(x+1)^2 =x+1-2x2raizx(x+1)^2 =1-x2raizx,(x+1)^2<0para x>1
Logo f é decrescente em [1,infty) e, portanto, an+1<an para todo n>=1.

Passo 5

Pelo Teste de Leibniz, como an>=0, limntoinftyan=0 e an é decrescente, a série alternante converge.
Para verificar que não converge absolutamente, note que
sumn=1^infty|(-1)^n-1an| =sumn=1^inftyraiznn+1
comporta-se como sum n^-1/2, que diverge pelo teste da série p com p=1/2.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz (alternating series test), mas diverge em valor absoluto.

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