Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Este é um caso clássico de série alternante, e vamos usar o Teste de Leibniz (alternating series test). Para isso precisamos verificar duas coisas sobre
-
. -
é monotonamente decrescente para grande.
Passo 2
Escrevemos a série na forma
com
O fator
garante a alternância de sinais.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Passo 4
Mostramos que
é decrescente para
. Considere a função contínua
Sua derivada é
Logo
é decrescente em
e, portanto,
para todo
.
Passo 5
Pelo Teste de Leibniz, como
,
e
é decrescente, a série alternante converge.
Para verificar que não converge absolutamente, note que
Para verificar que não converge absolutamente, note que
comporta-se como
, que diverge pelo teste da série
com
.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz (alternating series test), mas diverge em valor absoluto.