Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
sumn=1^infty cos (3 n)1+(1,2)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty cos(3n)1+(1,2)^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e uma boa estratégia é mostrar convergência absoluta por comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Note que para todo n vale
gl|cos(3n)1+(1,2)^ngr| <= 11+(1,2)^n <= 1(1,2)^n,
pois lvertcos(3n)rvert<=1 e 1+(1,2)^n>=(1,2)^n.

Passo 3

A série
sumn=1^infty1(1,2)^n
é uma série geométrica de razão
r=11,2<1,
logo ela converge.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação (ou Convergência Absoluta), como
sumn=1^inftyl|tfraccos(3n)1+(1,2)^nr|
é limitada acima por uma série convergente, concluímos que a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente. Teste utilizado: comparação com série geométrica.

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