Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e uma boa estratégia é mostrar convergência absoluta por comparação com uma série geométrica.
Passo 2
Note que para todo vale
pois lvertcos(3n)rvert<=1 e 1+(1,2)^n>=(1,2)^n.
Passo 3
A série
sumn=1^infty1(1,2)^n
é uma série geométrica de razão
r=11,2<1,
logo ela converge.
Passo 4
Pelo Teste da Comparação (ou Convergência Absoluta), como
sumn=1^inftyl|tfraccos(3n)1+(1,2)^nr|
é limitada acima por uma série convergente, concluímos que a série original converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge absolutamente. Teste utilizado: comparação com série geométrica.