(a) Calcule a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=s(s+1)^2
(Dica: Use frações parciais)
(b) Use Transformada de Laplace para resolver o PVI:
l y^prime prime(t)+4 y=f(t) y(0)=y^prime(0)=0, onde f(t)= 0 & se 0 <= t<2 1 & se 2 <= t<4 0 & se t >= 4

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) devemos calcular a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s(s+1)^2,
usando frações parciais e conhecendo transformadas básicas. Na parte (b) temos o problema de valor inicial
y''(t)+4,y(t)=f(t), y(0)=y'(0)=0,
onde f(t) é uma “janela” que vale 1 em 2<= t<4 e 0 caso contrário. Vamos usar transformada de Laplace, representação de f(t) com degraus unitários, resolver em s e inverter.

Passo 2

Para (a), fazemos frações parciais em
s(s+1)^2=s+1-1(s+1)^2 =s+1(s+1)^2-1(s+1)^2 =1s+1-1(s+1)^2

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace inversa temos
L^-1l[tfrac1s+1r](t)=e^-t, L^-1l[tfrac1(s+1)^2r](t)=t,e^-t
Logo, a resposta da parte (a) é
y(a)(t)=e^-t-t,e^-t

Passo 4

Para (b), tomamos Laplace em ambos os lados de
y''(t)+4y(t)=f(t),
com y(0)=y'(0)=0. Como Ly''(s)=s^2Y(s) e Ly(s)=Y(s), obtemos
(s^2+4),Y(s)=F(s),
ou seja
Y(s)=F(s)s^2+4

Passo 5

Escrevemos f(t) com degraus unitários:
f(t)=u(t-2)-u(t-4)
Sua transformada é
F(s)=e^-2ss-e^-4ss

Passo 6

Substituindo em Y(s)
Y(s) =1s^2+4l(e^-2ss-e^-4ssr) =l(e^-2s-e^-4sr)1s(s^2+4)

Passo 7

Precisamos de
f1(t)=L^-1!l[1s(s^2+4)r]
Fazendo frações parciais:
1s(s^2+4) =As+Bs+Cs^2+4,
leva a A=tfrac14, B=-tfrac14, C=0. Logo
1s(s^2+4) =141s-14ss^2+4
Inversamente,
f1(t) =14cdot1-14cos(2t) =14l[1-cos(2t)r]

Passo 8

Pelo teorema do deslocamento no tempo,
L^-1e^-a sG(s)(t)=u(t-a),g(t-a)
Assim
y(t) =u(t-2),f1(t-2);-;u(t-4),f1(t-4)
e, com f1 do passo anterior, obtemos a solução completa em forma de “pulso”:
para 0<= t<2, y(t)=0;
para 2<= t<4,
y(t)=14l[1-cosl(2(t-2)r)r];
para t>=4,
y(t) =14l[1-cosl(2(t-2)r)r] -14l[1-cosl(2(t-4)r)r]

Resposta

(a) y(a)(t)=e^-t-t,e^-t
(b)
y(t)= 0, & 0<= t<2,[6pt] 14l[1-cosl(2(t-2)r)r], & 2<= t<4,[8pt] 14l[1-cosl(2(t-2)r)r] -14l[1-cosl(2(t-4)r)r], & t>=4 ]

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