[14] Calcule as seguintes integrais, sabendo que R é a região delimitada pelas curvas dadas:
integral duplaR(x+y) d x d y, x=1 e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(x+y),dx,dy, onde R é a região delimitada pelas curvas y=x^2+1, y=-x^2-1 e pelas retas x=-1 e x=1. O assunto é integral dupla sobre uma região do plano e vamos precisar montar uma integral iterada, escolhendo uma ordem de integração e determinando corretamente os limites.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y e depois em fixo em x) Para um (x, [-1,1] varia de y até yinf=-x^2-1. Assim montamos
ysup=x^2+1

Passo 3

Na integral interna em y integramos termo a termo:
integral(x+y),dy = x,y + y^22
Avaliando de y=-x^2-1 até y=x^2+1 e subtraindo dá
l[x,y + tfracy^22r]-x^2-1^x^2+1 = 2x^3 + 2x

Passo 4

Sobram portanto os seguintes limites para x:
integral-1^1(2x^3+2x),dx
Note que 2x^3+2x é função ímpar ( f(-x)=-f(x)) e estamos integrando num intervalo simétrico [-1,1].

Passo 5

Por causa da paridade ímpar da função e dos limites simétricos, a integral externa se anula. Logo
A integral dupla vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados