O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação
y(t)=10+14 sen(10 pi t)
a) Encontre a velocidade da partícula após t segundos
b) Em quais instantes de tempo a partícula está parada?

Passo 1

O enunciado diz que a partícula se move segundo a função de deslocamento y(t)=10+tfrac14sin(10pi t). O conteúdo aqui é derivada de funções trigonométricas (regra da cadeia) para achar a velocidade v(t)=y'(t) e, em seguida, determinar quando essa velocidade é zero.

Passo 2

Para encontrar a velocidade, derivamos y(t) em relação a t aplicando a regra da cadeia na parte sin(10pi t):
Derivada de sin(u) é cos(u) vezes a derivada de u=10pi t. Assim,
v(t)=y'(t)=0+14cdot(10pi)cos(10pi t)=10pi4cos(10pi t)=5pi2cos(10pi t)

Passo 3

Para achar quando a partícula está parada, igualamos v(t)=0:
5pi2cos(10pi t)=0impliescos(10pi t)=0

Passo 4

Sabemos que cos(theta)=0 quando theta=tfracpi2+kpi, kin Z. Logo,
10pi t=pi2+kpiimplies t=tfracpi2+kpi10pi=2k+120, kin Z

Resposta

(a) v(t)=5pi2cos(10pi t)
(b) A partícula está parada em t=2k+120 segundos, com k inteiro.

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