Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. Isso é uma função racional, então o conteúdo aqui é integração por frações parciais.
Passo 2
Começamos escrevendo a decomposição em frações parciais:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e comparamos coeficientes de potências de
. Isso dá o sistema
Resolvendo, achamos
Passo 4
Substituindo na decomposição, a integral vira a soma
Passo 5
Agora integramos termo a termo, usando
•integral x^-2dx=-x^-1 ;
•integraldxx=ln|x| ;
•integralxx^2+4dx=tfrac12ln(x^2+4) ;
•integraldxx^2+4=tfrac12arctan!(x/2) ;
•integralx(x^2+4)^2dx=-tfrac12(x^2+4) ;
•integraldx(x^2+4)^2=x8(x^2+4)+116arctan!(x/2) .
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Passo 6
Juntando tudo, simplificando e reunindo constantes, obtemos