Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x+1x^2,(x^2+4)^2,dx. Isso é uma função racional, então o conteúdo aqui é integração por frações parciais.

Passo 2

Começamos escrevendo a decomposição em frações parciais:
x+1x^2(x^2+4)^2 = Ax+Bx^2+Cx+Dx^2+4+Ex+F(x^2+4)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x^2+4)^2 e comparamos coeficientes de potências de x. Isso dá o sistema
A+C=0, B+D=0, 8A+4C+E=0,8B+4D+F=0,16A=1,16B=1
Resolvendo, achamos A=B=tfrac116, C=D=-tfrac116, E= -tfrac14, F=-tfrac14.

Passo 4

Substituindo na decomposição, a integral vira a soma
integral x+1x^2(x^2+4)^2,dx = 116!integraldxx+116!integral x^-2dx -116!integralx+1x^2+4dx -14!integralx+1(x^2+4)^2dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo, usando
integral x^-2dx=-x^-1;
integraldxx=ln|x|;
integralxx^2+4dx=tfrac12ln(x^2+4);
integraldxx^2+4=tfrac12arctan!(x/2);
integralx(x^2+4)^2dx=-tfrac12(x^2+4);
integraldx(x^2+4)^2=x8(x^2+4)+116arctan!(x/2).

Passo 6

Juntando tudo, simplificando e reunindo constantes, obtemos
116ln|x|-116x-132ln(x^2+4)-364arctanl(tfrac x2r)+4-x32(x^2+4)+C

Resposta

116ln|x|-116x-132ln(x^2+4)-364arctanl(tfrac x2r)+4-x32(x^2+4)+C

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