Se f e g são contínuas e
para todo
em [a,
), então valem os seguintes testes de comparação para integrais impróprias:
i) Se
converge, então
converge.
ii) Se
diverge, então
diverge.
Determine se a primeira integral converge, comparando-a com a segunda integral.
a)
;
.
(Converge)
b)
;
.
(Converge)
i) Se
ii) Se
a)
(Converge)
b)
(Converge)
Passo 1
O enunciado pede verificar a convergência de integrais impróprias usando o teste de comparação: dado que f e g são contínuas em [a,∞) com 0 ≤ f(x) ≤ g(x), se
Passo 2
Para a) note que para todo x ≥ 1 vale
Como sabemos que
essa integral comparadora converge. Logo, pelo teste de comparação,
Passo 3
Para b) observe que para x ≥ 1 temos x² ≥ x, logo
E sabemos que
ou seja, a integral comparadora converge. Portanto, pelo teste de comparação,
Resposta
As duas integrais dadas convergem.