Se f e g são contínuas e 0 f(x) <= g(x) para todo x em [a, infty ), então valem os seguintes testes de comparação para integrais impróprias:
i) Se integrala^infty g(x) d x converge, então integrala^infty f(x) d x converge.
ii) Se integrala^infty f(x) d x diverge, então integrala^infty g(x) d x diverge.
Determine se a primeira integral converge, comparando-a com a segunda integral.
a) integral1^infty 11+x^4 d x;
integral1^infty 1x^4 d x.
(Converge)
b) integral1^infty e^-x^2 d x;
integral1^infty e^-x d x.
(Converge)

Passo 1

O enunciado pede verificar a convergência de integrais impróprias usando o teste de comparação: dado que f e g são contínuas em [a,∞) com 0 ≤ f(x) ≤ g(x), se
integrala^inftyg(x),dx converge então
integrala^inftyf(x),dx também converge. Vamos aplicar esse teste a cada caso.

Passo 2

Para a) note que para todo x ≥ 1 vale
0 <= 11+x^4 <= 1x^4
Como sabemos que
integral1^infty 1x^4,dx = limbtoinftyl[-tfrac13x^3r]1^b = tfrac13,
essa integral comparadora converge. Logo, pelo teste de comparação,
integral1^infty 11+x^4,dx também converge.

Passo 3

Para b) observe que para x ≥ 1 temos x² ≥ x, logo
0 <= e^-x^2 <= e^-x
E sabemos que
integral1^infty e^-x,dx = limbtoinftyl[-e^-xr]1^b = e^-1,
ou seja, a integral comparadora converge. Portanto, pelo teste de comparação,
integral1^infty e^-x^2,dx também converge.

Resposta

As duas integrais dadas convergem.

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