Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
integral0^4 1x^2-x-2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a integral imprópria
integral0^4 1x^2-x-2,dx
que tem um ponto de descontinuidade em x=2 (já que o denominador x^2-x-2=(x-2)(x+1) zera aí). Vamos ver se esse tipo de integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro a gente fatora o denominador e resolve a fração parcialmente. Como
1(x-2)(x+1)=Ax-2+Bx+1,
sobrepondo:
A(x+1)+B(x-2)=1
Isso gera o sistema
A+B=0, A-2B=1,
cuja solução é A=1/3 e B=-1/3.

Passo 3

Com isso a integral vira
integral 1x^2-x-2,dx=integrall(1/3x-2-1/3x+1r)dx =13ln|x-2|-13ln|x+1|+C =13lnl|x-2x+1r|+C

Passo 4

Como há singularidade em x=2, separamos a integral em duas partes impróprias:
integral0^41x^2-x-2,dx =limbto2^-integral0^bf(x),dx +limato2^+integrala^4f(x),dx
Usando a primitiva F(x)=13lnl|tfracx-2x+1r|:

Passo 5

  • De 0 a b<2:
F(b)-F(0)=13lnl|b-2b+1r|-13ln2 to -infty(bto2^-)

Passo 6

  • De a>2 a 4:
F(4)-F(a)=13lnl(25r)-13lnl|a-2a+1r| to +infty(ato2^+)

Passo 7

Como ambas as parcelas divergentes não se cancelam (uma vai a -infty e a outra a +infty), a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge.

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