14 Uma certa quantidade de gás a 25^{\circ} \mathrm{C} e à pressão de 0,800 \mathrm{~atm} está contida em um balão de vidro. Suponha que o balão pode suportar uma pressão de 2,00 \mathrm{~atm}. Qual é a temperatura máxima para aquecer o gás sem explodir o balão?

Passo 1

O que o enunciado pede: qual é a temperatura máxima para aquecer o gás sem que a pressão ultrapasse a capacidade do balão (ou seja, sem que a pressão atinja mais que 2,00\\ \mathrm{atm}).
Informações dadas:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C}
P_1 = 0{,}800\\ \mathrm{atm}
P_{\max} = 2{,}00\\ \mathrm{atm}
Observação importante (dada pelo enunciado): o gás está em um balão de vidro — isto sugere que o volume do gás não muda significativamente enquanto aquecemos (o balão é considerado rígido). Também assumimos que a quantidade de gás (n) permanece constante. Com essas hipóteses, podemos seguir para a resolução.

Passo 2

Qual lei física usar e por quê? Vou explicar bem devagar porque isso aparece muito na prova. Começamos pela equação dos gases ideais:
PV = nRT.
Aqui:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, K).
Se V e n são constantes (balão rígido e massa de gás fixa), então PV = \text{constante}\cdot T implica que a pressão é proporcional à temperatura absoluta. Em fórmula:
\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}.
Essa é a chamada lei de Gay-Lussac (ou relação pressão–temperatura a volume constante). Vou usar ela.
Antes de usar, precisamos trabalhar com temperaturas em kelvin. Conversão de Celsius para kelvin é:
T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 3

Converter a temperatura inicial para kelvin:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Escrever a relação entre pressões e temperaturas e isolar T_2:
\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}
\Rightarrow T_2 = T_1 \cdot \frac{P_2}{P_1}.
Aqui P_2 é a pressão que queremos permitir no máximo; então P_2 = P_{\max} = 2{,}00\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Calcular o fator de aumento de pressão:
\frac{P_2}{P_1} = \frac{2{,}00}{0{,}800} = 2{,}5.
Calcular T_2 em kelvin usando multiplicação fácil (faça assim na prova sem calculadora: dobre e some metade):
T_2 = 298{,}15 \times 2{,}5 = 298{,}15\times 2 + 298{,}15\times 0{,}5.
298{,}15\times 2 = 596{,}30
298{,}15\times 0{,}5 = 149{,}075
T_2 = 596{,}30 + 149{,}075 = 745{,}375\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius (porque a pergunta provavelmente espera uma temperatura em ^{\circ}\mathrm{C}):
T_2(^\circ\mathrm{C}) = T_2(\mathrm{K}) - 273{,}15 = 745{,}375 - 273{,}15 = 472{,}225^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (os dados têm geralmente 3 dígitos relevantes), podemos dar a resposta como 472^\circ\mathrm{C}.

Resposta

472^\circ\mathrm{C}

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