Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui vamos usar substituição para simplificar o denominador, reconhecendo que a derivada de 1+x^{3} é proporcional a x^{2}.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 1 + x^{3},
então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração:
quando x=0, u = 1 + 0^{3} = 1;
quando x=1, u = 1 + 1^{3} = 2.
Assim a integral fica
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora calculemos
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\frac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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