1.14 Considere ondas transversais se propagando em um lago. Um pequeno barco se desloca com uma velocidade u maior do que a velocidade v das ondas. Use a construção de Huygens para verificar que surge uma frente de onda dada pela interseção da superfície do líquido e um cone cujo semiângulo é igual a \theta. Determine o valor de \operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado diz: um pequeno barco desloca-se sobre a superfície de um lago com velocidade u, e as ondas transversais na água têm velocidade de propagação v. Está dado que u>v. Pede-se usar a construção de Huygens para verificar que aparece uma frente de onda dada pela interseção da superfície do líquido com um cone cujo semiângulo é \theta, e determinar o valor de \operatorname{sen}\theta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Velocidade do barco: u.
  • Velocidade das ondas na água: v.
  • Condição: u>v.
  • Objetivo: encontrar \operatorname{sen}\theta para o semiângulo \theta do cone formado pela envelope das ondas.

Passo 2

Lembrete didático sobre a construção de Huygens (explicação calma e simples):
  • A ideia de Huygens diz que cada ponto de uma frente de onda pode ser visto como emissor de pequenas “ondas secundárias” (ou “heerlets”) que se espalham com a mesma velocidade de fase da onda no meio.
  • A nova frente de onda, após um intervalo de tempo \tau, é a envoltória (envelope) de todas essas pequenas ondas secundárias.
  • No caso do barco: ao longo do trajeto do barco cada instante ele gera uma pequena perturbação que dá origem a uma onda circular (na superfície) que se expande com velocidade v. A envelope dessas circunferências geradas continuamente pelo barco dá a forma da frente visível (o “rasteiro” ou wake).

Passo 3

Construção geométrica (esquema que dá para fazer desenhando na prova):
  • Fixe um instante final t (tempo presente). Nesse instante o barco está em um ponto que chamamos de B.
  • Considere um tempo passado \tau (com 0\le \tau \le t). No instante t-\tau o barco estava em um ponto A situado a uma distância u\tau “atrás” de B (porque em \tau o barco percorre u\tau).
  • A perturbação emitida pelo barco em A se propagou radialmente até o instante t, alcançando um raio r=v\tau. Ou seja, no instante t há uma circunferência centrada em A de raio v\tau.
  • Agora pense na família de todas essas circunferências para diferentes \tau. A fronteira externa comum a todas elas é a envoltória procurada: é a linha (no plano) que é tangente a todas as circunferências. Essa envoltória forma um ângulo \theta com a direção do movimento do barco.

Passo 4

Geometria do triângulo que dá o ângulo (a parte chave, passo a passo):
  • Tome uma das circunferências centradas em A (distância u\tau atrás de B) com raio v\tau.
  • A envoltória passa por um ponto P que é tangente à circunferência: a linha BP (direção do envelope) é tangente à circunferência centrada em A.
  • A reta do centro A até o ponto de tangência P é perpendicular à tangente BP. Assim, AP é perpendicular a BP.
  • Considere o triângulo retângulo ABP. No triângulo:
    • o cateto AP tem comprimento v\tau (é o raio da circunferência),
    • o segmento AB tem comprimento u\tau (distância percorrida pelo barco entre os instantes),
    • o ângulo entre BP e a direção do movimento (linha AB) é precisamente \theta.
  • Olhando o triângulo ABP, o seno de \theta é a razão entre o cateto oposto AP e a hipotenusa AB (ou, dependendo da orientação, entre AP e AB; como os comprimentos são proporcionais, o resultado fica claro). Portanto:
\operatorname{sen}\theta=\frac{AP}{AB}=\frac{v\tau}{u\tau}.

Passo 5

Simplificação e observação importante:
  • No resultado do passo anterior aparece \tau no numerador e no denominador, e elas se cancelam. Isso mostra que o ângulo \theta não depende de qual perturbação passada se considera: a envoltória é a mesma para todos os \tau.
  • Cancelando \tau obtemos:
\operatorname{sen}\theta=\frac{v}{u}.

Passo 6

Interpretação física e exemplos para fixar:
  • Se u>v então \frac{v}{u}<1 e o ângulo \theta é bem definido (cone / V aberto atrás do barco). Esse é exatamente o “wake” que se vê atrás de barcos rápidos.
  • Exemplo numérico: se u=2v então \operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2} e \theta=30^\circ.
  • Se u\le v a conta formal daria \operatorname{sen}\theta\ge1 ou igual a 1; fisicamente, se u<v não se forma esse tipo de envelope aberto (as ondas se propagam mais rápido que o barco e “escapam” para frente), e se u=v a envoltória degeneraria numa reta.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}\theta=\frac{v}{u}

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