1.14 Considere ondas transversais se propagando em um lago. Um pequeno barco se desloca com uma velocidade
maior do que a velocidade
das ondas. Use a construção de Huygens para verificar que surge uma frente de onda dada pela interseção da superfície do líquido e um cone cujo semiângulo é igual a
. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado diz: um pequeno barco desloca-se sobre a superfície de um lago com velocidade
, e as ondas transversais na água têm velocidade de propagação
. Está dado que
. Pede-se usar a construção de Huygens para verificar que aparece uma frente de onda dada pela interseção da superfície do líquido com um cone cujo semiângulo é
, e determinar o valor de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Velocidade do barco:
. - Velocidade das ondas na água:
. - Condição:
. - Objetivo: encontrar
para o semiângulo do cone formado pela envelope das ondas.
Passo 2
Lembrete didático sobre a construção de Huygens (explicação calma e simples):
- A ideia de Huygens diz que cada ponto de uma frente de onda pode ser visto como emissor de pequenas “ondas secundárias” (ou “heerlets”) que se espalham com a mesma velocidade de fase da onda no meio.
- A nova frente de onda, após um intervalo de tempo
, é a envoltória (envelope) de todas essas pequenas ondas secundárias. - No caso do barco: ao longo do trajeto do barco cada instante ele gera uma pequena perturbação que dá origem a uma onda circular (na superfície) que se expande com velocidade
. A envelope dessas circunferências geradas continuamente pelo barco dá a forma da frente visível (o “rasteiro” ou wake).
Passo 3
Construção geométrica (esquema que dá para fazer desenhando na prova):
- Fixe um instante final
(tempo presente). Nesse instante o barco está em um ponto que chamamos de . - Considere um tempo passado
(com ). No instante o barco estava em um ponto situado a uma distância “atrás” de (porque em o barco percorre ). - A perturbação emitida pelo barco em
se propagou radialmente até o instante , alcançando um raio . Ou seja, no instante há uma circunferência centrada em de raio . - Agora pense na família de todas essas circunferências para diferentes
. A fronteira externa comum a todas elas é a envoltória procurada: é a linha (no plano) que é tangente a todas as circunferências. Essa envoltória forma um ângulo com a direção do movimento do barco.
Passo 4
Geometria do triângulo que dá o ângulo (a parte chave, passo a passo):
- Tome uma das circunferências centradas em
(distância atrás de ) com raio . - A envoltória passa por um ponto
que é tangente à circunferência: a linha (direção do envelope) é tangente à circunferência centrada em . - A reta do centro
até o ponto de tangência é perpendicular à tangente . Assim, é perpendicular a . - Considere o triângulo retângulo
. No triângulo: - o cateto
tem comprimento (é o raio da circunferência), - o segmento
tem comprimento (distância percorrida pelo barco entre os instantes), - o ângulo entre
e a direção do movimento (linha ) é precisamente .
- o cateto
- Olhando o triângulo
, o seno de é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa (ou, dependendo da orientação, entre e ; como os comprimentos são proporcionais, o resultado fica claro). Portanto:
Passo 5
Simplificação e observação importante:
- No resultado do passo anterior aparece
no numerador e no denominador, e elas se cancelam. Isso mostra que o ângulo não depende de qual perturbação passada se considera: a envoltória é a mesma para todos os . - Cancelando
obtemos:
Passo 6
Interpretação física e exemplos para fixar:
- Se
então e o ângulo é bem definido (cone / V aberto atrás do barco). Esse é exatamente o “wake” que se vê atrás de barcos rápidos. - Exemplo numérico: se
então e . - Se
a conta formal daria ou igual a 1; fisicamente, se não se forma esse tipo de envelope aberto (as ondas se propagam mais rápido que o barco e “escapam” para frente), e se a envoltória degeneraria numa reta.