14- Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 4 & 2 \\\\ 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 2 & 2\end{array}\right], achar os valores e vetores próprios de A e os espaços característicos de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2\\\\ 4 & 5 & 2\\\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e pede os autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios) de A, bem como os espaços característicos (autespaços). Para isso, vamos calcular o polinômio característico
\det(A - \lambda I)=0,
achar suas raízes \lambda e, em seguida, determinar as bases dos autovetores em cada caso.

Passo 2

Calcular o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 4 & 2\\\\ 4 & 5-\lambda & 2\\\\ 2 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores na primeira linha, obtemos após simplificar
-\lambda^3 + 12\lambda^2 -21\lambda +10 = 0
ou seja
\lambda^3 -12\lambda^2 +21\lambda -10 =0.

Passo 3

Procuramos raízes inteiras em \pm1,\pm2,\pm5,\pm10. Testando \lambda=1 temos
1 -12 +21 -10 = 0,
logo \lambda=1 é raiz. Fazendo divisão sintética por \lambda-1, o quociente é \lambda^2 -11\lambda +10, cujas raízes são
\lambda = \frac{11 \pm \sqrt{121 -40}}{2} = \frac{11 \pm 9}{2},
portanto \lambda=10 e \lambda=1. Concluímos que os autovalores são
\lambda_1 = 10\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda=10, resolvemos (A - 10I)x = 0, i.e.
\begin{pmatrix} -5 & 4 & 2\\\\ 4 & -5 & 2\\\\ 2 & 2 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Das duas primeiras equações segue y=2z e x=2z. Logo os vetores próprios têm a forma
(x,y,z) = z\,(2,2,1),
e o espaço característico é
E_{10} = \{\,t\,(2,2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Para \lambda=1, resolvemos (A - I)x = 0, i.e.
\begin{pmatrix} 4 & 4 & 2\\\\ 4 & 4 & 2\\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Todas as linhas levam à mesma equação
2x + 2y + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = -2x -2y.
Tomando x=s, y=t, obtemos
(x,y,z) = s\,(1,0,-2) + t\,(0,1,-2).
O espaço característico é
E_{1} = \{\,s\,(1,0,-2) + t\,(0,1,-2)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

Os autovalores e espaços característicos de A são:
\lambda_1 = 10, com
E_{10} = \mathrm{span}\{(2,2,1)\}.
\lambda_2 = 1, com
E_{1} = \mathrm{span}\{(1,0,-2),\,(0,1,-2)\}.

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