15- Achar os valores e vetores próprios de A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] e diagonalizar.

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios ( \lambda) e vetores próprios de
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\\\ 3 & 2 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e em seguida diagonalizar A, ou seja, encontrar uma matriz P invertível e uma diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
Para isso, vamos:
  1. Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.
  2. Encontrar as raízes \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3.
  3. Para cada \lambda_i, achar a base do espaço nulo de A - \lambda_i I.
  4. Montar P com esses vetores e D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).

Passo 2

Calculamos
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 & 4\\\\ 3 & 2-\lambda & -1\\\\ 2 & 1 & -1-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
(1-\lambda)\Bigl((2-\lambda)(-1-\lambda)-(-1)\cdot1\Bigr) -(-1)\Bigl(3(-1-\lambda)-(-1)\cdot2\Bigr) +4\Bigl(3\cdot1-(2-\lambda)\cdot2\Bigr).
Fazendo as contas, chega-se a
-\lambda^3 +2\lambda^2 +5\lambda -6 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^3 -2\lambda^2 -5\lambda +6=0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio: testando \lambda=1 obtemos zero, logo há fator (\lambda-1).
Dividindo sinteticamente, sobra
\lambda^2 - \lambda -6 = 0,
cuja solução é
\lambda = \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} = \frac{1\pm5}{2}\;\Longrightarrow\;\lambda=3\text{ ou }\lambda=-2.
Portanto, os valores próprios são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2=3,\quad \lambda_3=-2.

Passo 4

Para \lambda_1=1, resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix} 0 & -1 & 4\\\\ 3 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -y+4z=0\Rightarrow y=4z.
Da segunda linha vem 3x+y-z=0\Rightarrow3x+4z-z=0\Rightarrow x=-z.
Logo um vetor próprio é
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3, (A - 3I)v=0:
\begin{pmatrix} -2 & -1 & 4\\\\ 3 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira equação -2x - y +4z=0\Rightarrow y=-2x+4z.
Da segunda 3x - y - z=0\Rightarrow3x -(-2x+4z)-z=0\Rightarrow5x-5z=0\Rightarrow x=z.
Então y=2x e escolhemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-2, (A + 2I)v=0:
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 4\\\\ 3 & 4 & -1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 3x - y +4z=0\Rightarrow y=3x+4z.
Da segunda 3x +4y -z=0\Rightarrow3x+4(3x+4z)-z=0\Rightarrow15x+15z=0\Rightarrow x=-z.
Então y=z e escolhemos
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Definimos
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 4 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Verifica-se que P é invertível e que
A = P\,D\,P^{-1},
ou seja, A está diagonalizada por P.

Resposta

Valores próprios: \lambda_1=1, \lambda_2=3, \lambda_3=-2.
Vetores próprios correspondentes:
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Diagonalização:
A = P\,D\,P^{-1}, \quad P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 4 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

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