15- Achar os valores e vetores próprios de
e diagonalizar.
Passo 1
O enunciado pede os valores próprios (
) e vetores próprios de
e em seguida diagonalizar
, ou seja, encontrar uma matriz
invertível e uma diagonal
tais que
Para isso, vamos:
- Calcular o polinômio característico
. - Encontrar as raízes
. - Para cada
, achar a base do espaço nulo de . - Montar
com esses vetores e .
Passo 2
Calculamos
Expandindo pela primeira linha:
Fazendo as contas, chega-se a
Passo 3
Fatoramos o polinômio: testando
obtemos zero, logo há fator
.
Dividindo sinteticamente, sobra
Dividindo sinteticamente, sobra
cuja solução é
Portanto, os valores próprios são
Passo 4
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha vem
.
Da segunda linha vem .
Logo um vetor próprio é
Da segunda linha vem
Logo um vetor próprio é
Passo 5
Para
,
:
Da primeira equação
.
Da segunda .
Então e escolhemos
Da segunda
Então
Passo 6
Para
,
:
Da primeira linha
.
Da segunda .
Então e escolhemos
Da segunda
Então
Passo 7
Definimos
Verifica-se que
é invertível e que
ou seja,
está diagonalizada por
.
Resposta
Valores próprios:
,
,
.
Vetores próprios correspondentes:
Vetores próprios correspondentes:
Diagonalização: