Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular, vamos usar a propriedade de que os autovalores são os elementos da diagonal principal e depois resolver o sistema (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Montamos A-\lambda I e calculamos seu determinante:
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^3.
Logo, o polinômio característico é (1-\lambda)^3.

Passo 3

Das soluções de \det(A-\lambda I)=0 vem o único autovalor
\lambda=1
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para encontrar os autovetores resolvemos
(A-I)v=0 \quad\text{com}\quad A-I=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2v_2+3v_3=0,\\\\ 2v_3=0, \end{cases}
da segunda equação vem v_3=0 e, pela primeira, v_2=0. O escalar v_1 fica livre.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).
Os autovetores são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é, v=t(1,0,0)^\mathsf{T} com t\neq0.

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