Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Como A é triangular, vamos usar a propriedade de que os autovalores são os elementos da diagonal principal e depois resolver o sistema (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores. Passo 2Montamos A-\lambda I e calculamos seu determinante: A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^3. Logo, o polinômio característico é (1-\lambda)^3. Passo 3Das soluções de \det(A-\lambda I)=0 vem o único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3. Passo 4Para encontrar os autovetores resolvemos (A-I)v=0 \quad\text{com}\quad A-I=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}. Isso gera o sistema \begin{cases} 2v_2+3v_3=0,\\\\ 2v_3=0, \end{cases} da segunda equação vem v_3=0 e, pela primeira, v_2=0. O escalar v_1 fica livre. RespostaO único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3). Os autovetores são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, isto é, v=t(1,0,0)^\mathsf{T} com t\neq0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAche os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right] Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] 14- Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 4 & 2 \\\\ 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 2 & 2\end{array}\right], achar os valores e vetores próprios de A e os espaços característicos de A. 14- Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}5 & 4 & 2 \\\\ 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 2 & 2\end{array}\right], achar os valores e vetores próprios de A e os espaços característicos de A.