Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
ou seja, o sólido é o conjunto de pontos
tais que
Precisamos (a) esboçar esse sólido e (b) reescrevê-lo como integrais equivalentes em duas ordens de integração diferentes.
Passo 2
Esboço e descrição das fronteiras
- No plano
a base é o triângulo com vértices , , , pois , e . - Para cada ponto desse triângulo,
varia de até a superfície inclinada . - Geometricamente é um “prisma” de base triangular no plano
, com topo dado pelo plano inclinado .
Passo 3
Integração na ordem
Projete o sólido no plano :
Projete o sólido no plano
e para cada
temos
Logo
Passo 4
Integração na ordem
Projete o sólido no eixo : temos
. Para cada
, a condição
vira
Projete o sólido no eixo
e de novo
Portanto
Resposta
Duas formas equivalentes de escrever o volume são