Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2 z d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
V=integral0^1!integral0^1-x!integral0^2-2zdy,dz,dx
ou seja, o sólido é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
0<= x<=1,0<= z<=1-x,0<= y<=2-2z
Precisamos (a) esboçar esse sólido e (b) reescrevê-lo como integrais equivalentes em duas ordens de integração diferentes.

Passo 2

Esboço e descrição das fronteiras
  • No plano xz a base é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1), pois x>=0, z>=0 e x+z<=1.
  • Para cada ponto desse triângulo, y varia de 0 até a superfície inclinada y=2-2z.
  • Geometricamente é um “prisma” de base triangular no plano xz, com topo dado pelo plano inclinado y+2z=2.

Passo 3

Integração na ordem dx,dy,dz
Projete o sólido no plano yz:
0<= z<=1,0<= y<=2-2z,
e para cada (y,z) temos
0<= x<=1-z
Logo
V =integralz=0^1!integraly=0^2-2z!integralx=0^1-zdx,dy,dz

Passo 4

Integração na ordem dx,dz,dy
Projete o sólido no eixo y: temos 0<= y<=2. Para cada y, a condição y<=2-2z vira
0<= z<=2-y2,
e de novo
0<= x<=1-z
Portanto
V =integraly=0^2!integralz=0^2-y2!integralx=0^1-zdx,dz,dy

Resposta

Duas formas equivalentes de escrever o volume são
V =integralz=0^1!integraly=0^2-2z!integralx=0^1-zdx,dy,dz e V =integraly=0^2!integralz=0^2-y2!integralx=0^1-zdx,dz,dy

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