Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a equação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes dadas (e uma escolha necessária): a variável
não foi explicitada no enunciado, então vou assumir o caso mais comum em provas de graduação:
é um número real,
. Se o domínio fosse outro (por exemplo números complexos), a análise muda; aqui trabalho com reais.
Passo 2
Definição importante: raiz quadrada principal. Para qualquer número real
com
,
é definida como o único número real não-negativo
tal que
. Em palavras:
sempre retorna um número
.
Exemplo simples para sentir a ideia:
(não
), porque escolhemos a raiz não-negativa.
Passo 3
Definição do valor absoluto. Para
Propriedades úteis:
- (porque elevar ao quadrado apaga o sinal).]
Passo 4
Relação entre
e
. Como
para todo
, o número
é bem definido e é o único número não-negativo cuja quadrado é
. Mas
também é não-negativo e satisfaz
. Pela unicidade da raiz quadrada não-negativa segue-se que
Passo 5
Voltemos à equação original. Substituindo o resultado do passo anterior, a igualdade proposta é equivalente a
Quando isso é verdade? Pela definição de
(passo 3), a igualdade
só ocorre quando
. Se
, então
e
.
Exemplos numéricos para fixar:
- Se
, (verdadeiro). - Se
, , mas , logo (falso).
Passo 6
Conclusão e observações finais: para
a identidade
não é verdadeira em geral; a expressão correta é
. Portanto a igualdade dada vale somente quando
. (Se o domínio não for o dos reais, por exemplo complexos, a situação é mais sutil e a igualdade geralmente também não vale.)
Resposta
Falsa — em geral
, e a igualdade
vale somente quando
.