Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
\sqrt{a^{2}}=a

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a equação abaixo é verdadeira ou falsa:
\sqrt{a^{2}}=a.
Informações relevantes dadas (e uma escolha necessária): a variável a não foi explicitada no enunciado, então vou assumir o caso mais comum em provas de graduação: a é um número real, a\in\mathbb{R}. Se o domínio fosse outro (por exemplo números complexos), a análise muda; aqui trabalho com reais.

Passo 2

Definição importante: raiz quadrada principal. Para qualquer número real x com x\ge 0, \sqrt{x} é definida como o único número real não-negativo y tal que y^{2}=x. Em palavras: \sqrt{x} sempre retorna um número \ge 0.
Exemplo simples para sentir a ideia: \sqrt{9}=3 (não -3), porque escolhemos a raiz não-negativa.

Passo 3

Definição do valor absoluto. Para a\in\mathbb{R}\), \[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Propriedades úteis:
  • |a|\ge 0\] sempre. - \(|a|^{2}=a^{2} (porque elevar ao quadrado apaga o sinal).]

Passo 4

Relação entre \sqrt{a^{2}} e |a|. Como a^{2}\ge 0 para todo a\in\mathbb{R}, o número \sqrt{a^{2}} é bem definido e é o único número não-negativo cuja quadrado é a^{2}. Mas |a| também é não-negativo e satisfaz |a|^{2}=a^{2}. Pela unicidade da raiz quadrada não-negativa segue-se que
\sqrt{a^{2}}=|a|.

Passo 5

Voltemos à equação original. Substituindo o resultado do passo anterior, a igualdade proposta é equivalente a
|a|=a.
Quando isso é verdade? Pela definição de |a| (passo 3), a igualdade |a|=a só ocorre quando a\ge 0. Se a<0, então |a|=-a e |a|\neq a.
Exemplos numéricos para fixar:
  • Se a=3, \sqrt{a^{2}}=\sqrt{9}=3=a (verdadeiro).
  • Se a=-2, \sqrt{a^{2}}=\sqrt{4}=2, mas a=-2, logo 2\neq -2 (falso).

Passo 6

Conclusão e observações finais: para a\in\mathbb{R} a identidade \sqrt{a^{2}}=a não é verdadeira em geral; a expressão correta é \sqrt{a^{2}}=|a|. Portanto a igualdade dada vale somente quando a\ge 0. (Se o domínio não for o dos reais, por exemplo complexos, a situação é mais sutil e a igualdade geralmente também não vale.)

Resposta

Falsa — em geral \sqrt{a^{2}}=|a|, e a igualdade \sqrt{a^{2}}=a vale somente quando a\ge 0.

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