17 Demonstre que A, B e C não serão linearmente independentes se
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}=0
Serão os vetores
\mathbf{A}=\mathbf{j}+3 \mathbf{k},
\begin{aligned} & \mathbf{B}=\mathbf{i}-2 \mathbf{k}, \\\ & \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} \end{aligned}
linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Demonstrar que, se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} não são linearmente independentes (ou seja, são linearmente dependentes).
  • Decidir se os vetores dados
\mathbf{A}=\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad \mathbf{B}=\mathbf{i}-2\mathbf{k},\qquad \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}
são linearmente independentes.
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição numérica/algebraica que relaciona os vetores é \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0.
  • Os vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} estão escritos em componentes canônicas (vetores em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Definição prática de independência linear (passo didático): vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existe uma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
Para conectar com o produto misto, apresento o conceito do produto escalar do produto vetorial (produto misto): para vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})
é chamado produto misto (ou produto escalar triplo). Uma propriedade importante (que usaremos) é que o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes de \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}:
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr].
Aqui \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr] significa o determinante da matriz 3\times3 formada colocando as componentes de \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} como colunas.
Expliquei as variáveis:
  • \alpha,\beta,\gamma são escalares reais que multiplicam os vetores.
  • \det[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}] é o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são os vetores.

Passo 3

Prova da implicação (explicação passo a passo e intuitiva):
  • Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então pelo item anterior \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr]=0.
  • Uma propriedade básica de determinantes é: uma matriz 3\times3 tem determinante zero se, e só se, suas colunas (ou linhas) são linearmente dependentes (ou seja, as colunas não formam uma base de \mathbb{R}^3). Isso vem da teoria de determinantes e de posto de matrizes: \det=0 \iff posto <3\iff colunas dependentes.
  • Portanto, \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr]=0 implica que existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}.
  • Isso é exatamente a definição de vetores linearmente dependentes. Logo, se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Observação geométrica curta (ajuda à intuição): o valor absoluto de \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) é o volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}. Se esse volume é zero, os vetores estão contidos num mesmo plano (ou linha), logo são linearmente dependentes.

Passo 4

Agora aplico o resultado aos vetores dados. Primeiro escrevo suas componentes em coordenadas padrão (pegando as componentes diretamente do enunciado):
\mathbf{A}=(0,1,3),\qquad \mathbf{B}=(1,0,-2),\qquad \mathbf{C}=(1,1,1).
Vou calcular \mathbf{B}\times\mathbf{C} explicitamente usando a fórmula do determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{B}\times\mathbf{C}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Expansão por cofactores (cada passo mostrado):
  • Componente \mathbf{i}: 0\cdot1-(-2)\cdot1=0+2=2.
  • Componente \mathbf{j}: -(1\cdot1-(-2)\cdot1)=-(1+2)=-3.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot1-0\cdot1=1-0=1.
Portanto
\mathbf{B}\times\mathbf{C}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 5

Agora calculo o produto misto \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}). Faço o produto escalar entre \mathbf{A}=(0,1,3) e \mathbf{B}\times\mathbf{C}=(2,-3,1):
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0\cdot2 + 1\cdot(-3) + 3\cdot1 = -3 + 3 = 0.
Como o produto misto é zero, pelo que foi demonstrado nos passos anteriores, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Além da conclusão teórica, mostro explicitamente a dependência encontrando coeficientes não todos nulos que satisfazem a combinação linear nula. A partir dos vetores, observe que
\mathbf{C}-\mathbf{B}=(1,1,1)-(1,0,-2)=(0,1,3)=\mathbf{A}.
Rearranjando:
\mathbf{A}+\mathbf{B}-\mathbf{C}=\mathbf{0}.
Isto fornece uma relação linear não trivial entre os vetores ( \alpha=1,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1), confirmando explicitamente que são linearmente dependentes.

Resposta

Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0 então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Não — os vetores dados não são linearmente independentes; eles são linearmente dependentes, pois \mathbf{A}+\mathbf{B}-\mathbf{C}=\mathbf{0}.

Exercícios relacionados