Demonstrar que, se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} não são linearmente independentes (ou seja, são linearmente dependentes).
A condição numérica/algebraica que relaciona os vetores é \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0.
Os vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} estão escritos em componentes canônicas (vetores em \mathbb{R}^3).
Passo 2
Definição prática de independência linear (passo didático): vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente independentes se a única solução do sistema
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existe uma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
Para conectar com o produto misto, apresento o conceito do produto escalar do produto vetorial (produto misto): para vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})
é chamado produto misto (ou produto escalar triplo). Uma propriedade importante (que usaremos) é que o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes de \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}:
Aqui \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr] significa o determinante da matriz 3\times3 formada colocando as componentes de \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} como colunas.
Expliquei as variáveis:
\alpha,\beta,\gamma são escalares reais que multiplicam os vetores.
\det[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}] é o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são os vetores.
Passo 3
Prova da implicação (explicação passo a passo e intuitiva):
Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então pelo item anterior \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr]=0.
Uma propriedade básica de determinantes é: uma matriz 3\times3 tem determinante zero se, e só se, suas colunas (ou linhas) são linearmente dependentes (ou seja, as colunas não formam uma base de \mathbb{R}^3). Isso vem da teoria de determinantes e de posto de matrizes: \det=0 \iff posto <3\iff colunas dependentes.
Portanto, \det\bigl[\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\\ \mathbf{C}\bigr]=0 implica que existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
Isso é exatamente a definição de vetores linearmente dependentes. Logo, se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Observação geométrica curta (ajuda à intuição): o valor absoluto de \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) é o volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}. Se esse volume é zero, os vetores estão contidos num mesmo plano (ou linha), logo são linearmente dependentes.
Passo 4
Agora aplico o resultado aos vetores dados. Primeiro escrevo suas componentes em coordenadas padrão (pegando as componentes diretamente do enunciado):
Agora calculo o produto misto \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}). Faço o produto escalar entre \mathbf{A}=(0,1,3) e \mathbf{B}\times\mathbf{C}=(2,-3,1):
Como o produto misto é zero, pelo que foi demonstrado nos passos anteriores, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 6
Além da conclusão teórica, mostro explicitamente a dependência encontrando coeficientes não todos nulos que satisfazem a combinação linear nula. A partir dos vetores, observe que
Isto fornece uma relação linear não trivial entre os vetores (\alpha=1,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1), confirmando explicitamente que são linearmente dependentes.
Resposta
Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0 então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Não — os vetores dados não são linearmente independentes; eles são linearmente dependentes, pois \mathbf{A}+\mathbf{B}-\mathbf{C}=\mathbf{0}.