5.14 A densidade rho do corpo dado por
R=(x, y, z): x^2+y^2-z^2 <= 1 ;-1 <= z <= 1
é dado por M=integral triplaR rho(x, y, z) d x d y d z . Encontre sua massa

Passo 1

A questão quer a massa de um sólido com densidade rho(x,y,z)=(x^2+y^2)^2 no domínio R=(x,y,z):x^2+y^2-z^2<=1,;-1<= z<=1. O conteúdo principal é integrar em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar usar a troca (x,y,z)to(r,theta,z) com o Jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta, então x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. A condição x^2+y^2-z^2<=1 vira r^2<=1+z^2, e os limites são
0<= r<=raiz1+z^2, 0<=theta<=2pi, -1<= z<=1

Passo 3

A densidade em cilíndricas fica rho=r^4. Assim a massa é
M=integral triplaRrho,dV=integralz=-1^1integraltheta=0^2piintegralr=0^raiz1+z^2r^4cdot r,dr,dtheta,dz = integral-1^1integral0^2piintegral0^raiz1+z^2r^5,dr,dtheta,dz

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^raiz1+z^2r^5,dr = r^66|0^raiz1+z^2 = (1+z^2)^36

Passo 5

Agora integramos em theta e z:
M=integral-1^1integral0^2pi(1+z^2)^36,dtheta,dz = 2pi6integral-1^1(1+z^2)^3,dz = pi3integral-1^1(1+z^2)^3,dz

Passo 6

Expande e usa simetria (paridade):
(1+z^2)^3 = 1+3z^2+3z^4+z^6,
integral-1^1(1+3z^2+3z^4+z^6),dz = 2l[1 + 313 +315 +17r] = 2l[2 +35+17r] = 19235

Passo 7

Logo
M=pi3cdot19235 = 64pi35

Resposta

M=dfrac64pi35.

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