Calcular as integrais seguintes :
integralpi / 4^pi / 2 cos xsen x d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida de cos xsin x de x=pi/4 até x=pi/2. O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas, e vamos usar que a derivada de sin x é cos x e que a derivada de ln(sin x) é cot x = cos xsin x.

Passo 2

Reconhecemos que cos xsin x = ddx[ln(sin x)]. Logo, uma primitiva de cos xsin x é ln(sin x).

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, avaliamos ln(sin x) nos extremos. Calculamos primeiro os senos nos limites: sinl(tfracpi2r)=1 e sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22.

Passo 4

Substituímos nos limites e simplificamos:
integralpi/4^pi/2cos xsin x,dx = lnl(sin(tfracpi2)r) - lnl(sin(tfracpi4)r) = ln(1) - lnl(tfracraiz22r)
E como ln(1)=0 e lnl(tfracraiz22r)=lnl(2^-1/2r)=-tfrac12ln2, obtemos
0 - l(-tfrac12ln2r) = tfrac12ln2

Resposta

tfrac12ln2

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