Calcular as integrais seguintes :
integral0^pi / 4 sen xcos x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral integral0^pi/4 sin xcos x,dx. O conteúdo é integral de tan x e vamos usar a identidade tan x=sin xcos x e a primitiva de tan x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando tan x:
integral sin xcos x,dx = integral tan x,dx

Passo 3

Sabemos que a primitiva de tan x é
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C,
pois fazendo u=cos x temos du=-sin x,dx e integral tan x,dx = -integral du/u = -ln|u|+C.

Passo 4

Aplicamos os limites de 0 a pi/4:
[-lnl|cos xr|]0^pi/4 = -lnl(cos(pi/4)r) + lnl(cos0r)

Passo 5

Calculamos cos(pi/4)=tfracraiz22 e cos0=1. Então
-lnl(tfracraiz22r) + ln(1) = -l(-tfrac12ln2r) + 0 = tfrac12ln2

Resposta

tfrac12ln2

Exercícios relacionados