5.1 O raio da base de um cilindro circular reto cresce a uma taxa de variação de 1,2 enquanto a altura decresce a uma taxa de variação de 2,2 . Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando a altura é 90 e o raio da base é 40 ?
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação do volume de um cilindro circular reto em função do tempo, dado que o raio cresce a uma taxa de 1,2 e a altura decresce a uma taxa de 2,2. O conteúdo envolvido é derivadas de funções de várias variáveis (função volume que depende de r e h) e vamos precisar aplicar derivada implícita (regra do produto e cadeia) na fórmula do volume.
Passo 2
A fórmula do volume do cilindro circular reto é
Aqui, tanto o raio
quanto a altura
variam com o tempo, então vamos derivar essa expressão em relação ao tempo
.
Passo 3
Aplicando a derivada em relação a
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Como
é constante, temos:
Passo 4
Agora substituímos os valores fornecidos:
,
,
e
. Ficamos com:
Passo 5
Bast a calcular os termos:
2\cdot40\cdot1{,}2\cdot90 = 8640
2\cdot40\cdot1{,}2\cdot90 = 8640
40^2\cdot2{,}2 = 3520
Logo,
Resposta
5120\pi