5.1 O raio da base de um cilindro circular reto cresce a uma taxa de variação de 1,2 enquanto a altura decresce a uma taxa de variação de 2,2 . Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando a altura é 90 e o raio da base é 40 ?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação do volume de um cilindro circular reto em função do tempo, dado que o raio cresce a uma taxa de 1,2 e a altura decresce a uma taxa de 2,2. O conteúdo envolvido é derivadas de funções de várias variáveis (função volume que depende de r e h) e vamos precisar aplicar derivada implícita (regra do produto e cadeia) na fórmula do volume.

Passo 2

A fórmula do volume do cilindro circular reto é
V = pi r^2 h
Aqui, tanto o raio r quanto a altura h variam com o tempo, então vamos derivar essa expressão em relação ao tempo t.

Passo 3

Aplicando a derivada em relação a t, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Como pi é constante, temos:
dVdt = piddt(r^2 h) = pil(2rdrdt,h + r^2dhdtr)

Passo 4

Agora substituímos os valores fornecidos: r=40, h=90, dr/dt=1,2 e dh/dt=-2,2. Ficamos com:
dVdt = pil(2cdot40cdot1,2cdot90 + 40^2cdot(-2,2)r)

Passo 5

Bast a calcular os termos:
2\cdot40\cdot1{,}2\cdot90 = 8640
40^2\cdot2{,}2 = 3520
Logo,
dVdt = pi(8640 - 3520) = 5120pi

Resposta

5120\pi

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