Uma soluçāo 8,50 \times 10^{-5} \mathrm{M} da espécie A, medida em célula de 1,00 \mathrm{~cm}, apresentou absorbâncias de 0,129 e 0,764 em 475 e 700 nm , respectivamente. Uma solução 4,65 \times 10^{-5} \mathrm{M} da espécie B apresentou absorbâncias de 0,567 e 0,083 nas mesmas circunstâncias. Calcule as concentrações de A e B em soluções que forneceram os seguintes valores de absorbância em célula de 1,25 \mathrm{~cm} :
0,675 \mathrm{em} 475 \mathrm{~nm} e 0,696 \mathrm{em} 700 \mathrm{~nm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados experimentais (peguei os números do enunciado):
  • Solução-padrão de A: concentração \,c_A^{\text{pad}} = 8,50\times10^{-5}\\ \mathrm{M}\,, em cela de comprimento \,b_{\text{pad}}=1,00\\ \mathrm{cm}\,. Absorbâncias medidas:
    • em 475\\ \mathrm{nm}: \,A_{475}^{(A)}=0,129\,,
    • em 700\\ \mathrm{nm}: \,A_{700}^{(A)}=0,764\,.
  • Solução-padrão de B: concentração \,c_B^{\text{pad}} = 4,65\times10^{-5}\\ \mathrm{M}\,, em cela de comprimento \,b_{\text{pad}}=1,00\\ \mathrm{cm}\,. Absorbâncias medidas:
    • em 475\\ \mathrm{nm}: \,A_{475}^{(B)}=0,567\,,
    • em 700\\ \mathrm{nm}: \,A_{700}^{(B)}=0,083\,.
O que é pedido:
  • Determinar as concentrações \,c_A e \,c_B numa mistura (ambas presentes) que proporcionou, em cela de comprimento \,b=1,25\\ \mathrm{cm}\,,
    • \,A_{475}^{\text{mix}}=0,675\, e \,A_{700}^{\text{mix}}=0,696\,.

Passo 2

Explicação da lei usada (aulas rápidas e práticas).
  • A lei de Beer–Lambert diz que a absorbância de uma solução é proporcional ao comprimento de onda da luz atravessando a amostra, ao comprimento do caminho óptico e à concentração do absorvedor. Matematicamente:
A = \varepsilon \, b \, c,
onde:
  • A é a absorbância (número adimensional),
  • \varepsilon é o coeficiente de absorção molar (molar absorptividade), com unidades \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}},
  • b é o comprimento do caminho óptico (em \mathrm{cm}),
  • c é a concentração (em \mathrm{mol\;L^{-1}} ou \mathrm{M}).
No caso de uma mistura com duas espécies que absorvem independentemente, a absorbância total em um dado comprimento de onda é a soma das contribuições:
A = (\varepsilon_A c_A + \varepsilon_B c_B)\, b.
Estratégia: primeiro calcular \varepsilon_A e \varepsilon_B em cada comprimento de onda usando as soluções-padrão (onde só há A ou só há B). Depois montar duas equações (uma para cada comprimento de onda) para a mistura e resolver o sistema linear 2×2 para c_A e c_B.

Passo 3

Calcular os coeficientes de absorção molar \varepsilon a partir das soluções-padrão (usei b_{\text{pad}}=1,00\\ \mathrm{cm}).
Para A em 475\\ \mathrm{nm}:
\varepsilon_{A,475}=\frac{A_{475}^{(A)}}{b_{\text{pad}}\,c_A^{\text{pad}}} =\frac{0,129}{1,00\cdot 8,50\times10^{-5}} =\frac{0,129}{8,50\times10^{-5}}.
Fazendo a divisão:
\varepsilon_{A,475}=\frac{0,129}{0,000085}=\frac{129}{0,085}=\frac{25800}{17}\approx 1\,517{,}6470588\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
Para A em 700\\ \mathrm{nm}:
\varepsilon_{A,700}=\frac{0,764}{1,00\cdot 8,50\times10^{-5}} =\frac{0,764}{0,000085}=\frac{764}{0,085}=\frac{152800}{17}\approx 8\,988{,}2352941\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
Para B em 475\\ \mathrm{nm}:
\varepsilon_{B,475}=\frac{0,567}{1,00\cdot 4,65\times10^{-5}} =\frac{0,567}{0,0000465}=\frac{5670}{0,465}=\frac{378000}{31}\approx 12\,193{,}5483871\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
Para B em 700\\ \mathrm{nm}:
\varepsilon_{B,700}=\frac{0,083}{1,00\cdot 4,65\times10^{-5}} =\frac{0,083}{0,0000465}=\frac{830}{0,465}=\frac{166000}{93}\approx 1\,784{,}9462366\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
Resumo numérico (arredondando levemente para leitura):
  • \varepsilon_{A,475}\approx 1{,}517{,}65\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
  • \varepsilon_{A,700}\approx 8{,}988{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
  • \varepsilon_{B,475}\approx 1{,}219{,}35\times10^{4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
  • \varepsilon_{B,700}\approx 1{,}784{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.

Passo 4

Montar o sistema linear para a mistura medida em b=1,25\\ \mathrm{cm}. As duas equações (uma para cada comprimento de onda) são:
A_{475}^{\text{mix}}=(\varepsilon_{A,475} c_A + \varepsilon_{B,475} c_B)\, b,
A_{700}^{\text{mix}}=(\varepsilon_{A,700} c_A + \varepsilon_{B,700} c_B)\, b.
Substituindo os valores medidas e dividindo ambos os lados por b=1,25\\ \mathrm{cm} para simplificar:
\varepsilon_{A,475} c_A + \varepsilon_{B,475} c_B = \frac{0,675}{1,25}=0,54,
\varepsilon_{A,700} c_A + \varepsilon_{B,700} c_B = \frac{0,696}{1,25}=0,5568.
Usando os valores numéricos das \varepsilon:
\begin{cases} 1\,517{,}6470588\, c_A + 12\,193{,}5483871\, c_B = 0,54,\\[4pt] 8\,988{,}2352941\, c_A + 1\,784{,}9462366\, c_B = 0,5568. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema 2×2. Vou usar a regra de Cramer (é direta e prática na prova).
Defina:
a_{11}=1\,517{,}6470588,\quad a_{12}=12\,193{,}5483871,
a_{21}=8\,988{,}2352941,\quad a_{22}=1\,784{,}9462366,
b_1=0,54,\quad b_2=0,5568.
Determinante principal:
D = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Calculei (com as frações exatas por trás das contas) e obtive:
D \approx -1{,}068896\times10^{8}.
(é negativo; tudo bem — apenas indica sinal relativo nas combinações).

Passo 6

Determinantes para c_A e c_B:
Para c_A:
D_A = b_1 a_{22} - a_{12} b_2.
Calculando numericamente:
D_A \approx 0,54\cdot1\,784{,}9462366 - 12\,193{,}5483871\cdot0,5568 \approx -5\,826{,}027{,}6129.
Portanto
c_A = \frac{D_A}{D}\approx\frac{-5\,826{,}027{,}6129}{-1{,}068896\times10^{8}} \approx 5,45\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Para c_B:
D_B = a_{11} b_2 - b_1 a_{21}.
Calculando numericamente:
D_B \approx 1\,517{,}6470588\cdot0,5568 - 0,54\cdot8\,988{,}2352941 \approx -4\,009{,}209{,}4118.
Portanto
c_B = \frac{D_B}{D}\approx\frac{-4\,009{,}209{,}4118}{-1{,}068896\times10^{8}} \approx 3,75\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida (para dar confiança).
  • Resultado final em notação usual:
    • \,c_A\approx 5,45\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
    • \,c_B\approx 3,75\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Se inserir esses c_A e c_B nas equações originais e multiplicar por b=1,25\\ \mathrm{cm}, as absorbâncias calculadas ficam muito próximas dos valores medidos ( 0,675 e 0,696), o que confirma que a solução está consistente (pequenas diferenças apareceriam apenas por causa de arredondamentos intermediários).

Resposta

c_A = 5,45\times10^{-5}\\ \mathrm{M}
c_B = 3,75\times10^{-5}\\ \mathrm{M}

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