Determinar os vértices
\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~B}_{1} e \mathrm{B}_{2} das hipérboles abaixo e represente graficamente:
x^{2}-y^{2}=2

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
x^{2}-y^{2}=2
e pede para determinar os vértices A_{1},A_{2},B_{1},B_{2} e representar graficamente. O conteúdo aqui é a forma padrão da hipérbole centrada na origem, com eixo transverso no eixo x e eixo conjugado no eixo y.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos ambos os lados por 2:
\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1.
Dessa forma identificamos
a^{2}=2,\quad b^{2}=2
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a=\sqrt{2},\quad b=\sqrt{2}.

Passo 3

Os vértices da hipérbole propriamente dita estão sobre o eixo transverso x:
A_{1}=(a,0)=(\sqrt{2},0), \quad A_{2}=(-a,0)=(-\sqrt{2},0).

Passo 4

Os pontos B_{1} e B_{2} são os vértices do eixo conjugado (úteis para desenhar o retângulo auxiliar das assíntotas):
B_{1}=(0,b)=(0,\sqrt{2}), \quad B_{2}=(0,-b)=(0,-\sqrt{2}).

Passo 5

Para representar graficamente:
– Trace os eixos x e y.
– Marque A_{1}(\sqrt{2},0) e A_{2}(-\sqrt{2},0) no eixo x.
– Marque B_{1}(0,\sqrt{2}) e B_{2}(0,-\sqrt{2}) no eixo y.
– As assíntotas são as retas
y= x \quad\text{e}\quad y=-x.
– Desenhe os dois ramos da hipérbole, abrindo-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A_{1}=(\sqrt{2},0) A_{2}=(-\sqrt{2},0) B_{1}=(0,\sqrt{2}) B_{2}=(0,-\sqrt{2})

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