supondo que v=0, encontre a solução da Equação de Bessel. Dado: c_{0}=1.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0
Com:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n+r}
Equação indicial:
r(r-1)+r-v^{2}=0
Recorrência:
c_{n}=\frac{-c_{n-2}}{(n+r)^{2}-v^{2}}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Pede: encontrar a solução da equação de Bessel x^{2}y''+x y'+(x^{2}-v^{2})y=0no caso v=0, usando a série de Frobenius.
  • Dados fornecidos:
    • A série tentativa é y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n+r}.
    • Equação indicial fornecida: r(r-1)+r-v^{2}=0.
    • Recorrência fornecida: c_{n}=\dfrac{-c_{n-2}}{(n+r)^{2}-v^{2}}.
    • Condição inicial: c_{0}=1.
  • Pergunta concreta: achar a solução em série (ou a forma conhecida) para v=0, com c_{0}=1.

Passo 2

Entender a equação indicial para v=0 e o valor de r.
  • A equação indicial é r(r-1)+r-v^{2}=0.
  • Substituindo v=0 obtemos r(r-1)+r= r^{2}-r+r = r^{2}=0.
  • Logo \,r=0 é raiz dupla (ou seja r=0 com multiplicidade 2).
  • Interpretação rápida: o expoente principal da série de Frobenius é r=0. Com raiz dupla geralmente obtemos uma solução em série regular e a outra solução envolvendo termo logarítmico; aqui a série regular é a que vamos construir.

Passo 3

Simplificar a recorrência quando v=0 e r=0.
  • A recorrência geral era c_{n}=\frac{-c_{n-2}}{(n+r)^{2}-v^{2}}.
  • Para v=0 e r=0 isto fica c_{n}=\frac{-c_{n-2}}{n^{2}}.
  • Observação de estrutura: a recorrência relaciona coeficientes com diferença 2 de índice, ou seja os coeficientes pares formam uma sequência independente dos ímpares. Precisamos agora ver quais coeficientes iniciais são não nulos.

Passo 4

Determinar coeficientes iniciais e paridade (pares/ímpares).
  • A série começa em n=0, então c_{-1}=0 por definição (não existe termo n=-1 na série).
  • Para n=1 a recorrência dá c_{1}=\frac{-c_{-1}}{1^{2}}= -c_{-1}=0.
  • Como c_{1}=0, então por recorrência todos os coeficientes ímpares são zero: c_{3}=\frac{-c_{1}}{3^{2}}=0,\quad c_{5}=\frac{-c_{3}}{5^{2}}=0,\\ \text{etc.}
  • Conclusão: somente os coeficientes de índice par podem ser não nulos. Isso significa que a solução em série contém apenas potências pares de x, ou seja é função par em x.

Passo 5

Calcular os primeiros coeficientes pares explicitamente usando c_{0}=1.
  • Para n=2: c_{2}=\frac{-c_{0}}{2^{2}}=-\frac{1}{4}.
  • Para n=4: c_{4}=\frac{-c_{2}}{4^{2}}=-\frac{-1/4}{16}=\frac{1}{64}.
  • Para n=6: c_{6}=\frac{-c_{4}}{6^{2}}=-\frac{1/64}{36}=-\frac{1}{2304}.
  • Já dá para ver um padrão de sinais alternados e denominadores crescendo rapidamente.

Passo 6

Achar fórmula geral para c_{2m} por indução.
  • Suspeita (padrão observado): c_{2m}=\frac{(-1)^{m}}{2^{2m}\,(m!)^{2}}\;c_{0}.
  • Prova por indução:
    • Para m=0: c_{0}= \dfrac{(-1)^{0}}{2^{0}(0!)^{2}}c_{0}=c_{0}. OK.
    • Suponha válido para m=k: c_{2k}=\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}(k!)^{2}}c_{0}.
    • Então, usando a recorrência para obter c_{2(k+1)}: c_{2(k+1)}=\frac{-c_{2k}}{(2k+2)^{2}} =\frac{-1}{(2k+2)^{2}}\cdot\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}(k!)^{2}}c_{0} =\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k}\,(2k+2)^{2}(k!)^{2}}c_{0}.Agora note que (2k+2)^{2}=4(k+1)^{2}, então c_{2(k+1)}=\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k}\cdot 4 (k+1)^{2} (k!)^{2}}c_{0} =\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2(k+1)}((k+1)!)^{2}}c_{0},que é exatamente a fórmula com m=k+1. Indução completa.
  • Com c_{0}=1 obtemos a fórmula simplificada c_{2m}=\frac{(-1)^{m}}{2^{2m}(m!)^{2}}.

Passo 7

Escrever a solução em série com os coeficientes encontrados.
  • A solução (lembre que apenas termos pares aparecem) é y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} c_{2m}\,x^{2m} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m}(m!)^{2}}\,x^{2m}.
  • Reescrevendo de forma mais conhecida: y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}.

Passo 8

Identificar a série com a função de Bessel conhecida.
  • A série encontrada é exatamente a série de Maclaurin da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, J_{0}(x). Portanto a solução regular determinada por c_{0}=1 é y(x)=J_{0}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}.
  • Observação final amigável: para v=0 a equação de Bessel tem uma segunda solução linearmente independente que envolve logaritmo em zero (a função Y_{0}(x), também chamada de solução de Weber ou Neumann), mas essa segunda solução não é obtida por uma simples série de potências sem termo logarítmico. Aqui nos concentramos na solução regular em x=0, que é J_{0}.

Resposta

y(x)=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}=J_{0}(x)

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