supondo que
, encontre a solução da Equação de Bessel. Dado:
.
Com:
Equação indicial:
Recorrência:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
- Pede: encontrar a solução da equação de Bessel
no caso , usando a série de Frobenius. - Dados fornecidos:
- A série tentativa é
. - Equação indicial fornecida:
. - Recorrência fornecida:
. - Condição inicial:
.
- A série tentativa é
- Pergunta concreta: achar a solução em série (ou a forma conhecida) para
, com .
Passo 2
Entender a equação indicial para
e o valor de
.
- A equação indicial é
- Substituindo
obtemos - Logo
é raiz dupla (ou seja com multiplicidade 2). - Interpretação rápida: o expoente principal da série de Frobenius é
. Com raiz dupla geralmente obtemos uma solução em série regular e a outra solução envolvendo termo logarítmico; aqui a série regular é a que vamos construir.
Passo 3
Simplificar a recorrência quando
e
.
- A recorrência geral era
- Para
e isto fica - Observação de estrutura: a recorrência relaciona coeficientes com diferença 2 de índice, ou seja os coeficientes pares formam uma sequência independente dos ímpares. Precisamos agora ver quais coeficientes iniciais são não nulos.
Passo 4
Determinar coeficientes iniciais e paridade (pares/ímpares).
- A série começa em
, então por definição (não existe termo na série). - Para
a recorrência dá - Como
, então por recorrência todos os coeficientes ímpares são zero: - Conclusão: somente os coeficientes de índice par podem ser não nulos. Isso significa que a solução em série contém apenas potências pares de
, ou seja é função par em .
Passo 5
Calcular os primeiros coeficientes pares explicitamente usando
.
- Para
: - Para
: - Para
: - Já dá para ver um padrão de sinais alternados e denominadores crescendo rapidamente.
Passo 6
Achar fórmula geral para
por indução.
- Suspeita (padrão observado):
- Prova por indução:
- Para
: . OK. - Suponha válido para
: - Então, usando a recorrência para obter
: Agora note que , então que é exatamente a fórmula com . Indução completa.
- Para
- Com
obtemos a fórmula simplificada
Passo 7
Escrever a solução em série com os coeficientes encontrados.
- A solução (lembre que apenas termos pares aparecem) é
- Reescrevendo de forma mais conhecida:
Passo 8
Identificar a série com a função de Bessel conhecida.
- A série encontrada é exatamente a série de Maclaurin da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero,
. Portanto a solução regular determinada por é - Observação final amigável: para
a equação de Bessel tem uma segunda solução linearmente independente que envolve logaritmo em zero (a função , também chamada de solução de Weber ou Neumann), mas essa segunda solução não é obtida por uma simples série de potências sem termo logarítmico. Aqui nos concentramos na solução regular em , que é .