9-14 Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
9. r(t)=lang<= t^2+1, t^3, t^2-1rang<=
10. r(t)=lang<= 2 cos t, 3 t, 2 sen trang<=
11. r(t)=raiz2 t i+e^t j+e^-t k
12. r(t)=t^2 i+2 t j+ln t k
13. r(t)=e^t(cos t i+sen t j+t k)
14. r(t)=t sen t i+t cos t j+t^2 k

Passo 1

O enunciado pede, para cada função posição r(t) dada em R^3, calcular
  1. a velocidade vetorial v(t)=r'(t),
  2. a aceleração vetorial a(t)=v'(t)=r''(t),
  3. a velocidade escalar (o módulo de v(t)),
    |v(t)|.
    Vamos usar as regras de derivação componente a componente, produto e cadeia, e depois a fórmula do módulo de um vetor em três dimensões.

Passo 2

Para r(t)=lang<= t^2+1,;t^3,;t^2-1rang<=:
v(t)=llang<= 2t,;3t^2,;2trrang<=,
a(t)=llang<= 2,;6t,;2rrang<=,
|v(t)|=raiz(2t)^2+(3t^2)^2+(2t)^2 =raiz4t^2+9t^4+4t^2 =raiz9t^4+8t^2 =traiz9t^2+8,

Passo 3

Para r(t)=lang<= 2cos t,;3t,;2sin trang<=:
v(t)=llang<= -2sin t,;3,;2cos trrang<=,
a(t)=llang<= -2cos t,;0,;-2sin trrang<=,
|v(t)| =raiz(-2sin t)^2+3^2+(2cos t)^2 =raiz4sin^2t+9+4cos^2t =raiz4(sin^2t+cos^2t)+9 =raiz4+9 =raiz13,

Passo 4

Para r(t)=raiz2,t,i+e^t,j+e^-t,k:
v(t)=llang<= raiz2,;e^t,;-e^-trrang<=,
a(t)=llang<= 0,;e^t,;e^-trrang<=,
|v(t)| =raiz(raiz2)^2+(e^t)^2+(-e^-t)^2 =raiz2+e^2t+e^-2t,

Passo 5

Para r(t)=t^2,i+2t,j+ln t,k com t>0:
v(t)=llang<= 2t,;2,;1/trrang<=,
a(t)=llang<= 2,;0,;-1/t^2rrang<=,
|v(t)| =raiz(2t)^2+2^2+(1/t)^2 =raiz4t^2+4+1/t^2,

Passo 6

Para r(t)=e^tl(cos t,i+sin t,j+t,kr):
produto de e^t por um vetor que depende de t.
v(t) =e^t(cos t,sin t,t)+e^t(-sin t,cos t,1) =e^tl(cos t-sin t,;sin t+cos t,;t+1r),
a(t) =ddtl[e^t(cos t-sin t,sin t+cos t,t+1)r]
=e^t(cos t-sin t,sin t+cos t,t+1) +e^t(-sin t-cos t,cos t-sin t,1)
=llang<= -2e^tsin t,;2e^tcos t,;e^t(t+2)rrang<=,
|v(t)| =e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+(t+1)^2 =e^traiz2+(t+1)^2,

Passo 7

Para r(t)=tsin t,i+tcos t,j+t^2,k:
v(t) =llang<= sin t+tcos t,;cos t -tsin t,;2trrang<=,
a(t) =llang<= cos t+cos t -tsin t,;-,sin t-sin t -tcos t,;2rrang<=
=llang<= 2cos t -tsin t,;-2sin t -tcos t,;2rrang<=,
|v(t)| =raiz(sin t+tcos t)^2+(cos t -tsin t)^2+(2t)^2 =raiz1+t^2+4t^2 =raiz1+5t^2,

Resposta

  1. v(t)=lang<= 2t,3t^2,2trang<=, a(t)=lang<= 2,6t,2rang<=, |v(t)|=traiz9t^2+8.
  2. v(t)=lang<= -2sin t,3,2cos trang<=, a(t)=lang<= -2cos t,0,-2sin trang<=, |v(t)|=raiz13.
  3. v(t)=lang<= raiz2,e^t,-e^-trang<=, a(t)=lang<= 0,e^t,e^-trang<=, |v(t)|=raiz2+e^2t+e^-2t.
  4. v(t)=lang<= 2t,2,1/trang<=, a(t)=lang<= 2,0,-1/t^2rang<=, |v(t)|=raiz4t^2+4+1/t^2.
  5. v(t)=e^tlang<= cos t-sin t,sin t+cos t,t+1rang<=, a(t)=lang<= -2e^tsin t,2e^tcos t,e^t(t+2)rang<=, |v(t)|=e^traiz2+(t+1)^2.
  6. v(t)=lang<= sin t+tcos t,cos t -tsin t,2trang<=, a(t)=lang<= 2cos t -tsin t,-2sin t -tcos t,2rang<=, |v(t)|=raiz1+5t^2.

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