Em cada item, calcule integral triplaD f(x, y, z) d V, em que D é a região de R^3 indicada em cada item.
f(x, y, z)=2 x ; D=(x, y, z) mid 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=2x sobre a região D dada por 0 <= y <= 2, 0 <= x <= raiz4-y^2 e 0 <= z <= y. O conteúdo é integrais múltiplas em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição de integral iterada.

Passo 2

Montamos a integral iterada conforme os limites de D:

Passo 3

integraly=0^2 integralx=0^raiz4-y^2 integralz=0^y 2x ,dz,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em z, tratando x e y como constantes:

Passo 5

integralz=0^y 2x ,dz = 2x l[zr]0^y = 2x,y

Passo 6

Agora integramos em x: como y é constante,

Passo 7

integralx=0^raiz4-y^2 2x,y,dx = y integral0^raiz4-y^2 2x,dx = y l[x^2r]0^raiz4-y^2 = y(4 - y^2) = 4y - y^3

Passo 8

Por fim, integramos em y:

Passo 9

integraly=0^2 (4y - y^3) ,dy = l[2y^2 - tfracy^44r]0^2 = (2cdot4 - tfrac164) - 0 = 8 - 4 = 4

Resposta

4

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