(14) Encontre as funções f circ g, g circ f, g circ g e f circ f circ f, sendo f(x)=1 / x e g(x)=x^3+2 x.

Passo 1

Estamos com as funções
f(x)=1x, g(x)=x^3+2x
e queremos compor de várias formas. Lembre que, por definição,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r), (gcirc f)(x)=gl(f(x)r),
e assim por diante.

Passo 2

Para fcirc g aplicamos g primeiro e depois f:
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = fl(x^3+2xr) = 1,x^3+2x, = 1x,(x^2+2),

Passo 3

Para gcirc f aplicamos f primeiro e depois g:
(gcirc f)(x) = gl(f(x)r) = gl(1xr) = l(1xr)^3 + 2l(1xr) = 1x^3 + 2x = 1 + 2x^2x^3,

Passo 4

Para gcirc g aplicamos g duas vezes:
(gcirc g)(x) = gl(g(x)r) = gl(x^3+2xr) = l(x^3+2xr)^3 + 2l(x^3+2xr)
Expandindo o cubo pelo binômio
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
com a=x^3, b=2x, obtemos
(x^3+2x)^3 = x^9 + 6x^7 + 12x^5 + 8x^3,
então
(gcirc g)(x) = x^9 + 6x^7 + 12x^5 + 8x^3 + 2x^3 + 4x = x^9 + 6x^7 + 12x^5 + 10x^3 + 4x

Passo 5

Para fcirc fcirc f note que fcirc f é a função identidade (pois
f(f(x))=fl(tfrac1xr)=x), logo
(fcirc fcirc f)(x) = fl((fcirc f)(x)r) = f(x) = 1x

Resposta

(fcirc g)(x)=dfrac1x^3+2x
(gcirc f)(x)=dfrac1+2x^2x^3
(gcirc g)(x)=x^9+6x^7+12x^5+10x^3+4x
(fcirc fcirc f)(x)=dfrac1x

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