Determine se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede pra gente decidir se a série alternada
é convergente ou divergente. Isso cai em teste de convergência de séries infinitas, mais especificamente o teste da razão, e vamos precisar usar manipulações de fatoriais (ou double factorial) pra achar o termo geral.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral. Chamando de
o
-ésimo termo (contando
como o primeiro), temos
Aqui o numerador é o double factorial
Passo 3
Aplicando o teste da razão, olhamos
$$L = \lim_{m\to\infty} \Bigl|\frac{a_{m+1}}{a_m}\Bigr|.
\frac{|a_{m+1}|}{|a_m|}
= \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)\cdot(2m+3)}{(2m+3)!} \bigg/ \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)}{(2m+1)!}
= \frac{2m+3}{(2m+3)(2m+2)(2m+1)!} \cdot (2m+1)! = \frac{1}{2(m+1)}.
= \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)\cdot(2m+3)}{(2m+3)!} \bigg/ \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)}{(2m+1)!}
= \frac{2m+3}{(2m+3)(2m+2)(2m+1)!} \cdot (2m+1)! = \frac{1}{2(m+1)}.
$$
Passo 4
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.
Passo 5
Como a série satisfaz o critério de convergência absoluta, concluímos que ela é convergente.
Resposta
A série é convergente.