Determine se a série
1-1 cdot 33!+1 cdot 3 cdot 55!-1 cdot 3 cdot 5 cdot 77!+cdots
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se a série alternada
1 - 1cdot33! + 1cdot3cdot55! - 1cdot3cdot5cdot77! + cdots
é convergente ou divergente. Isso cai em teste de convergência de séries infinitas, mais especificamente o teste da razão, e vamos precisar usar manipulações de fatoriais (ou double factorial) pra achar o termo geral.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral. Chamando de am o (m+1)-ésimo termo (contando m=0 como o primeiro), temos
am = (-1)^m ; 1cdot3cdot5cdots(2m+1)(2m+1)!
Aqui o numerador é o double factorial (2m+1)!!, mas a gente vai simplificar direto no teste.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, olhamos
$$L = \lim_{m\to\infty} \Bigl|\frac{a_{m+1}}{a_m}\Bigr|.
L = limmtoinfty l|am+1amr|
\frac{|a_{m+1}|}{|a_m|}
= \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)\cdot(2m+3)}{(2m+3)!} \bigg/ \frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot(2m+1)}{(2m+1)!}
= \frac{2m+3}{(2m+3)(2m+2)(2m+1)!} \cdot (2m+1)! = \frac{1}{2(m+1)}.
|am+1||am| = 1cdot3cdotdotscdot(2m+1)cdot(2m+3)(2m+3)! g/ 1cdot3cdotdotscdot(2m+1)(2m+1)! = 2m+3(2m+3)(2m+2)(2m+1)! cdot (2m+1)! = 12(m+1) L = \lim_{m\to\infty} \frac{1}{2(m+1)} = 0.
$$

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 5

Como a série satisfaz o critério de convergência absoluta, concluímos que ela é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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