Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
e calcule seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede solução em série de potências da EDO
com condições
O conteúdo usado será desenvolvimento em série de potências e teste da razão.
Passo 2
Proponho
logo
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Reindexando o primeiro somatório com
e o segundo com
e igualando coeficientes de
, chega-se à relação de recorrência
Passo 4
Para
e
a recorrência dá
logo
As condições iniciais impõem
Para
isolamos
Passo 5
Da recorrência vemos que todos os
com
ímpar e todos os
são zero. Para
:
Assim a solução em série é
Passo 6
Para o raio de convergência usamos o teste da razão:
para todo
x . Logo o raio de convergência é