Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
y^prime prime+x^2 y, y(0)=1, y^prime(0)=0
e calcule seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede solução em série de potências da EDO
y'' + x^2,y = 0,
com condições
y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo usado será desenvolvimento em série de potências e teste da razão.

Passo 2

Proponho
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
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y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituindo em ;y''+x^2y=0; obtemos
sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 ;+;sumn=0^infty an,x^n+2 ;=;0
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e o segundo com m=n+2 e igualando coeficientes de x^m, chega-se à relação de recorrência
(m+2)(m+1),am+2 + am-2 = 0, m>=2

Passo 4

Para m=0 e m=1 a recorrência dá
2cdot1,a2=0, 3cdot2,a3=0
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a2=a3=0
As condições iniciais impõem
a0=1, a1=0
Para m>=2 isolamos
am+2 = -am-2(m+2)(m+1)

Passo 5

Da recorrência vemos que todos os an com n ímpar e todos os a4k+2 são zero. Para k>=1:
a4k = (-1)^k prodj=1^k1(4j)(4j-1)
Assim a solução em série é
y(x)=sumk=0^infty a4k,x^4k =1 - x^412 + x^8672 - cdots

Passo 6

Para o raio de convergência usamos o teste da razão:
limktoinfty|a4(k+1),x^4(k+1)a4k,x^4k| =limktoinfty|x|^4(4k+4)(4k+3)=0<1
para todo x. Logo o raio de convergência é
R = infty

Resposta

y(x)=sumk=0^infty (-1)^k l(prodj=1^k1(4j)(4j-1)r),x^4k =1 - x^412 + x^8672 - cdots, R=infty

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