14-Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga rho e uma carga total Q. Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que não está carregada, com raio interno b e raio externo C. (a) Calcule o campo elétrico nas regiões em que r<a, a<r<b, b<r<c e r>C. (b) Calcule o potencial eletrostático nas regiões em que r<a, a<r<b, b<r<c e r>C.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio a, densidade de carga uniforme rho e carga total Q. Concêntrica a ela há uma casca condutora até o raio externo C, com raio interno b, inicialmente neutra. Precisamos achar (a) o campo elétrico E(r) e (b) o potencial V(r) nas quatro regiões separadas por r=a, r=b e r=C. Para isso usaremos a Lei de Gauss para E e a relação
V(r) = -integralinfty^r E(s),ds
com a condição de contorno V(infty)=0. Lembramos também que dentro do condutor (entre b e C) o campo é zero e que cargas induzidas aparecem nas superfícies internas e externas da casca de modo a manter sua carga total nula.

Passo 2

Aplicando Gauss em cada região:
1. Região r<a. A carga contida num raio r é
Qrm enc(r)=rho;4pi r^33 =;Q,r^3a^3
Daí
oint Ecdot dA = E(r),4pi r^2 = Q,r^3a^3;varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=14pivarepsilon0,Qa^3;r
2. Região a<r<b. Envolve toda a esfera carregada ( Qrm enc=Q) e nenhuma carga na casca até r<b, logo
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2
3. Região b<r<C. Dentro do material condutor o campo é zero:
E(r)=0
4. Região r>C. Envolve Q na esfera mais as cargas induzidas -Q na face interna da casca e +Q na face externa, mas a casca era neutra, de modo que o total é Q. Assim
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2

Passo 3

Para o potencial escolhemos V(infty)=0 e integramos
V(r)=-integralinfty^rE(s),ds
fazendo a integração em trechos.
1. Região r>C.
V(r)=integralr^infty14pivarepsilon0Qs^2,ds =14pivarepsilon0,Qr
2. Região b<r<C. Como E=0 de b até C, o potencial é constante e igual a V(C):
V(r)=V(C)=14pivarepsilon0,QC
3. Região a<r<b.
V(r) =V(b)+integralr^bne>hinspacel(-E(s)r),ds =Q4pivarepsilon01C +integralr^bne>hinspacegl(-Q4pivarepsilon0,s^2gr)ds
=Q4pivarepsilon0l(1C+1r-1br)
4. Região r<a.
V(r) =V(a)+integralr^ane>hinspacel(-E(s)r),ds =Q4pivarepsilon0l(1C+1a-1br) +integralr^ane>hinspacel(-Q4pivarepsilon0,a^3sr)ds
=Q4pivarepsilon0l(1C+1a-1br) +Q8pivarepsilon0,a^3l(a^2-r^2r)

Resposta

(a) Campo elétrico:
E(r)= 14pivarepsilon0,Qa^3,r, & r<a, [1em] 14pivarepsilon0,Qr^2, & a<r<b, [0.5em] 0, & b<r<C, [0.5em] 14pivarepsilon0,Qr^2, & r>C
(b) Potencial eletrostático ( V(infty)=0):
V(r)= Q4pivarepsilon0l(1C+1a-1br) +Q8pivarepsilon0,a^3l(a^2-r^2r), & r<a, [1em] Q4pivarepsilon0l(1C+1r-1br), & a<r<b, [0.5em] Q4pivarepsilon0,1C, & b<r<C, [0.5em] Q4pivarepsilon0,1r, & r>C ]

Exercícios relacionados