14-Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga e uma carga total . Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que não está carregada, com raio interno e raio externo . (a) Calcule o campo elétrico nas regiões em que e . (b) Calcule o potencial eletrostático nas regiões em que e .
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio , densidade de carga uniforme e carga total . Concêntrica a ela há uma casca condutora até o raio externo , com raio interno , inicialmente neutra. Precisamos achar (a) o campo elétrico e (b) o potencial nas quatro regiões separadas por , e . Para isso usaremos a Lei de Gauss para e a relação
com a condição de contorno . Lembramos também que dentro do condutor (entre e ) o campo é zero e que cargas induzidas aparecem nas superfícies internas e externas da casca de modo a manter sua carga total nula.
Passo 2
Aplicando Gauss em cada região:
. Região . A carga contida num raio é
Daí
. Região . Envolve toda a esfera carregada () e nenhuma carga na casca até , logo
. Região . Dentro do material condutor o campo é zero:
. Região . Envolve na esfera mais as cargas induzidas na face interna da casca e na face externa, mas a casca era neutra, de modo que o total é . Assim
Passo 3
Para o potencial escolhemos e integramos
fazendo a integração em trechos.
. Região .
. Região . Como de até , o potencial é constante e igual a :