7-Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga O e uma carga total Q. Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que
não está carregada, com raio interno b e raio externo C. Calcule o campo elétrico nas regiões em que r<a, a<r<b, b<r<c e r>C.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora sólida de raio a com densidade de carga uniforme rho (carga total Q) e, concêntrica a ela, uma casca condutora neutra de raio interno b e externo C. Precisamos calcular o campo elétrico E(r) nas regiões r<a, a<r<b, b<r<C e r>C. O conteúdo principal é a lei de Gauss aplicada a superfícies gaussianas esféricas.

Passo 2

Para r<a, a carga enclausurada pela superfície gaussiana de raio r é a carga da esfera de raio r. Como
rho = Qtfrac43pi a^3,
temos
Qint(r) = rho;43pi r^3 = Q,r^3a^3

Passo 3

Aplicando a lei de Gauss para r<a:
oint Ecdot dA ;=; E(r),4pi r^2 ;=;Qint(r)varepsilon0
Logo
E(r) = 14pivarepsilon0,Q,ra^3, (r<a)

Passo 4

Para a<r<b, a superfície gaussiana de raio r envolve toda a esfera não condutora, logo
Qint = Q
Pela lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2, (a<r<b)

Passo 5

Para b<r<C, estamos dentro do material condutor em equilíbrio eletrostático, portanto
E(r) = 0, (b<r<C)

Passo 6

Para r>C, a superfície gaussiana engloba a esfera e a casca condutora. Como a casca é neutra, a carga líquida nela é zero (induz-se -Q na face interna e +Q na face externa, que se cancelam). Assim a carga total dentro é Q e, pela lei de Gauss,
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2, (r>C)

Resposta

r<a:
E(r)=14pivarepsilon0,Q,ra^3
a<r<b:
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2
b<r<C:
E(r)=0
r>C:
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2

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